【大学资料】线性代数讲稿 la6b

第六章 二次型 变量的二次齐次多项式 称为元二次型, 简称为二次型 ：称为实二次型（本章只讨论实二次型）：称为复二次型6.1 二次型的矩阵表示 1矩阵表示：令, 则有 其中 , (1) 与是一一对应关系, 且 (2) 称为的矩阵, 称为对应的二次型 (3) 称的秩为的秩, 即 2标准形：找可逆线性变换, 即 使得 将二次型的标准形写为矩阵形式 , 矩阵描述：对实对称矩阵, 找可逆矩阵, 使得 3合同矩阵：对于, 若有可逆矩阵使得, 称合同于 (1) 合同于： (2) 合同于合同于： (3) 合同于, 合同于合同于 定理3 合同于 证 故 6.2 化二次型为标准形 1正交变换法 设实对称, 特征值为, 则存在正交矩阵, 使得 作正交变换, 可得 例1 用正交变换化为标准形 解 的矩阵 的特征多项式 的两个正交的特征向量 , 的特征向量 正交矩阵 正交变换：标准形 例2 用正交变换化为标准形 解 的矩阵 的特征多项式 求正交矩阵和对角矩阵, 使得： , 正交变换：标准形 例3 ,秩 (1) 求； (2)用正交变换化为标准形； (3) 表示那类二次曲面？ 解 (1) 的矩阵 （显见） (2) 的特征向量依次为 , , （两两正交） 正交矩阵 正交变换：标准形 (3) ：表示椭圆柱面 例4 设, , 秩, 求 解 或者 ：, （舍去） ： , 故为所求 2配方法 例5 用配方法化为标准形 解 令 , 则 可逆变换 ： 标准形 （与例1结果不同） 例6 用配方法化为标准形 解 先凑平方项 令 , 即 ： 则 令 , 则 即 ： 可逆变换 , 标准形 一般结论如下： 定理2 对于实二次型, 存在可逆变换, 使得 定理3 对于实对称矩阵, 存在可逆矩阵, 使得 3初等变换法 求可逆矩阵, 使得： 可逆 （是初等矩阵） 例7 用初等变换法化为标准形 解 可逆变换 , 标准形 6.3 正定二次型 设可逆变换使得 定理4 设的秩为, 则在的标准形中(1) 系数不为0的平方项的个数一定是； （）(2) 正项个数一定, 称为的正惯性指数；（证明略去）(3) 负项个数一定, 称为的负惯性指数（由(1)和(2)可得） 正定二次型：, 称为正定二次型, 为正定矩阵 负定二次型：, 称为负定二次型, 为负定矩阵 定理5 为正定二次型的标准形中 证 必要性取, 则, 从而 充分性已知, 由定义知, 为正定二次型 推论1 设实对称, 则为正定矩阵的特征值全为正数 推论2 设实对称正定矩阵, 则 定理6 设实对称, 则为正定矩阵 的顺序主子式全为正数, 即 （证明略去） 定理7 设实对称, 则 为负定二次型 为正定二次型 的负惯性指数为 （定理5） 的特征值全为负数 （定理4） 的奇数阶顺序主子式全为负数, 即 ； 的偶数阶顺序主子式全为正数, 即 例8 判断下列二次型的正定性： (1) (2) (3) 解 (1) , , 故为正定矩阵, 为正定二次型 (2) , , 故为负定矩阵, 为负定二次型 (3) , , 当时, 有 故为正定矩阵, 为正定二次型； 当