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5.3 实对称矩阵的相似矩阵 目的：对于实对称矩阵 , 求正交矩阵 , 使得此时, 称正交相似于对角矩阵 1实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理6 证 设 , , 则有 故 即 注 的解向量可取为实向量 约定：实对称矩阵的特征向量为实向量 定理7 , 特征值, 特征向量依次为, 则 证 , 故 例6 设实对称矩阵的特征值, 属于的 特征向量依次为, , 求 解 设, 由 , 可得 该齐次方程组的一个非零解为 令 , 则有 注 2正交矩阵：实矩阵满足时, 称为正交矩阵 (1) 是正交矩阵 (2) 是正交矩阵 (3) 是正交矩阵, 即的列向量组是两两正交的单位向量 (4) 是正交矩阵, 即的行向量组是两两正交的单位向量 定理8 存在正交矩阵, 使得（阅读83-85页） 推论 设, 若是的重特征值, 则对应于特征值一定有个 线性无关的特征向量（对比定理4） 例7 对下列矩阵, 求正交矩阵, 使得： (1), (2), (3) 解 (1) 对应于特征值的特征向量依次为 , , （定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵： , 则有 (2) , 属于的特征向量为 求属于的两个特征向量（凑正交）： , , （定理7保证它们两两正交）构造正交矩阵和对角矩阵： , 则有 (3) 求属于的3个特征向量（凑正交）： , , （它们两两正交） 属于的特征向量为 构造正交矩阵和对角矩阵： , 则有 3典型题 例8 已知可对角化, 是的2重特征值, 求可逆矩阵, 使得 解 可对角化对应有两个线性无关的特征向量 设, 则有 此时 , 求得 , , 令 , 则有 例9 已知相似于, 求和 解 故 例10 设的一个特征向量为, 求的全体 特征值与
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