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1998量子力学考研试题一. （见习题选讲3.1）质为的粒子处于一维位势 中，导出其能量本征值时满足的方程。解：将求解区间按位势的不同分为三个，分别记为、和。在三个区域中，波函数分别为 其中， ； 由处的连接条件 知 即要求 于是， 再由处的连接条件 得到 由上式可得 此即能量本征值满足的超越方程。该方程只能数值求解或用作图法求解。由于，余切值是负数，所以，角度在第二、四象限。若令 则超越方程可以改写成 若用作图法求解上式，则其解是曲线 与 的交点。讨论一种特殊情况，即，这时，于是，。曲线与坐标横轴的交点就是所求的解，即 进而可以得到 与无限深势阱的结果完全一致。 二. （见2000年第一题）质量为的粒子作一维自由运动，如果粒子处于的状态 上，求其动量与动能的其中几率分布及平均值。解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为 显然，两者相互对易，且满足 两者有共同完整本征函数 将向展开，即 展开系数 只有当时，。利用归一化条件 可知，归一化常数为 于是有 动量的取值几率为 平均值为 动能的的取值几率与动量相同，而平均值为 三. （见1999年第四题）若一维体系的哈密顿算符不显含时间，在能量表象中证明：(1) (2) (3) 证明：（1） 利用算符微分的定义可知 而从另一个角度出发，又可以得到 比较上述两式得到， （2） 从计算动量算符平方的平均值出发，有 整理之，有 （3） 利用维里定理， 得到 于是，有 四.（见习题选讲8.1）求自旋角动量在任意方向（方向余弦为 ）的投影算符 的本征值和相应的本征矢。解：将三个自旋分量算符代入自旋算符的投影中，得到其矩阵表示为 设的本征值为，则其满足的本征方程为 相应的久期方程为 解之得 上式表明，自旋在任意方向的投影的本征值总是。为了求出相应的本征矢，将其代入本征方程，得到 再利用归一化条件 得到归一化的本征矢为 同理可以求出相应的本征矢为 五. 设有一量子体系，其能量算符的本征矢记为，给定厄米特算符及。设体系受到微扰的作用，若已知，试在微扰后的基态（无简并）下计算的平均值，准确到量级。解：设满足 则哈密顿算符的基态波函数的一级近似为 利用归一化条件 若准确到量级，则一
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