线性代数罗老师§1.1-§.ppt

线 性 代 数,主讲教师: 罗光耀 所属单位: 数学与统计学院,学习要求,1.至少有一本参考书（习题解答），无参考书扣分（第三周检查） 2.听课须作笔记（最好有专门的笔记本和练习本），注意听课艺术。采用随机抽查式考勤，三次不到，平时成绩为零，取消考试资格（学校规定）。允许迟到一次。 3.须按时、按质、按量完成作业。作业采用等级评分，,本课程特点：1.独立性较强，与大学数学其它分支并列，因此对其它分支无依赖；2.在达到目的之前，准备工作较多，术语较庞杂，因此需要耐心；3.抽象，解决这一矛盾的办法是具体化：借特例理解规律，用数据取代字母，写出倒数第二个数据等。,基本要求：了解行列式的定义，掌握行列式的性质；掌握四阶行列式 与简单的n阶行列式的计算；会用克拉默法则解线性方程组。,第一章 行列式,1.1二阶行列式与三阶行列式 一、 引入,中,n=2,3的实例引入行列式,及其相应的克莱姆法则。,以：,用消元法解二元线性方程组,例1-1: 二元线性方程组,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,公式又如何记忆?,方程的解如何由这些系数确定？,记作： （二阶方阵）,增广矩阵 ，记作：,系数矩阵（矩形图案），,系数行列式（一种代数式），计算法则：“对角线法则”,（二行三列阵）,当 时， 二元线性方程组的解为：,即：,“克莱姆法则”。,解,例1-2:,其中：,解三元线性方程组：,利用高斯消元法得：,例1-3:,仿二元方程组，为帮助记忆，令：,当 时，有：,于是有：,“克莱姆法则”,说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,二、计算三阶行列式的两种基本方法:,例1-4:,注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三 元素的乘积冠以负号,计算三阶行列式,1.对角线法则(含重写两列的技巧),三阶行列式 中， 求给定元素的余子式与相应代数余子式。,2.按行展开(思路：降阶。重方法）,1）分别求元素 的余子式 2）求出相应的代数余子式。,解 1) 2),例1-5：,按第一行展开：,或按第二列展开：,用展开法计算行列式：,例16:,1.三阶行列式有 个元素，共有3！项； 2.每一项均由不同行不同列的元素之积构成; 3. “主对角线”对应元素之积附“+”，“副对角线”对应元素之积 附“”。正、负号各占一半。,三、行列式(这里指三阶行列式)的特征 ：,例1-7:,（上三角式，须关注）,（对角阵）,（下三角式）,结论：对角式（三角式）的值等于？请留心。,求值,排列 的逆序数为偶数的排列称为偶排列;逆序数为奇数的排列称为奇排列。,1.全排列. 2.逆序数 逆序：设 是1,2,n的一个全排列，可规定从小到大的排列 顺序为标准次序，当某两元素的先后顺序与标准次序不同时，称这两元 素之间构成一个逆序。设元素 与排在它前面的i-1个元素构成的逆序的个数为，则该排列的逆序数,将排列12n称为标准排列，标准排列的逆序数等于零。,3.标准排列与奇、偶排列,1.2 , 1.4. 全排列的逆序,对换.,一、全排列与排列的逆序数,计算排列逆序数的方法(举例说明）,方法1,方法2,例,问：,能看懂吗？,求排列32514的逆序数.,解,在排列32514中,3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1;,3 2 5 1 4,于是排列32514的逆序数为,例1-8:,计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,例1-9:,解,当 时为偶排列；,当 时为奇排列.,解,当 为偶数时，排列为偶排列，,当 为奇数时，排列为奇排列.,在 排列中，将其中两元素对调，其余元素不变，这种得到新排列的方法叫对换。,证明提示：1.相邻对换;2.不相邻对换=奇数次相邻对换。,定理 每经过一次对换，排列的奇偶性发生一次改变。,二、对换,小结：每经过一次相邻对换，排列的奇偶性都发生改变。,不相邻对换相当于奇数次相邻对换。,例1-10 求证:,其中, , 分别由全排列 , 经一次对换得到.,推论 奇（偶）排列经奇数（偶数）次对换变成标准排列。,这与绝对值不一样，如有：,表示对1,2,.,n 这n 个自然数的所有排列 求和。,其中,利用对换易证：,几点说明,1.n=1时有：,1.3, 1.5, n阶行列式的概念与性质,一、行列式定义及其等价形式,当n=3时，有：,2. 行列式有如下特征：,1) n阶行列式共有 个元素，共 项；,2） 各项是由行列式中不同行，不同列的元素之积构成的；,3）各项前附的符号由行标排列与列标排列的奇偶性共同决定。,2）对角式与次对角式：,1)三角行列式（下三角式与上三角式 ）：,3. 基本行列式,二、 行列式的性质,性质1(转置不变性)： 行列式转置值不变。,称 与 互为转置行列式,由行列式定义,说明：行列等同，对行成立的性质 对列也成立，反之亦然。,性质2(换行性质)： 两行（列）互换值相反。即: (行变换: r), (列变换:c),预备知识:,由行列式定义可知:,s行,t行,s行,t行,证明：交换行列式D中s、t 两行，得新行列式 ,即有:,推论: 两行（列）相同值为0 。,证明： 设第i 行与第 j 行相同,则:,注:,分别称为第一种初等行,列变换,性质2即:经第一种初等变换,行列式反号,性质3： 用数 k 乘行列式的某行（列），等值于用数 k 乘此行列式。即:,即：行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式外面,推论: 两行（列）成比值为0(特例:一行为零值为0 )。,分别称之为第二种初等行、列变换,注:,性质3即:施行第二种初等变换等值于用该数乘此行列式.,性质4(加法规则)：在仅一行(列)不同的前提下,两行列式相加 等值于该行(列)相加而其余诸行(列)不变,即:,证:,性质5(性质3，4的综合）： 行列式的某行（列）加上另一（列）的k倍,行列式的值不变。,即:,证明 : 设,则:,注：分别称,为第一、第二、第三种初等行变换（仅此三种）,.性质5即：第三种初等变换不改变行列式的值。,利用行列式性质计算：,目标,化为 上三角式,例1-10:计算,课堂练习:,1. 计算行列式,2. 一个n阶行列式，它的元素满足,证明：当 n 为奇数时，此行列式为零。,4,1,任务：n 阶行列式的按行(列)展开,降阶法的贯彻.,例如：,1.6 . 行列式按行（列）展开,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个 代数余子式。,思考题:,结论如何?,定理1.6.1：,证明：,（先特殊，再一般）,分三种情况讨论，我们只对行来证明此定理。,(1),假定行列式D的第一行除,外都是 0 。,由行列式定义:,此时定理成立.,(2),设 D 的第 i 行除了,外都是 0 。,把D转化为(1)的情形,把 D 的第,行依次与第,行，第,行，,第2行，第1行交换；再将第,列依次与第,列，,第,列，,第2列，第1列交换，这样共经过,次交换行与交换列的步骤。,由性质2，两行（列）互换值相反得:,(3),一般情形,证毕。,例11:,定理1.6.2：,证明：,第 i 行,第k 行,得公式:,即:,计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为 仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行 列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。,计算行列式,例(8个),例1-12,解,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证明：,用数学归纳法,(1) 当n=2时,此时结论成立。,例1 -13:,(2) 设n1阶范德蒙德行列式成立，往证n阶也成立。,n-1阶范德蒙德行列式,证毕。,练习：用降阶法（按行按列展开）计算行列式的值。,(答:57),例 1-14 （加） ：,例 1-15 （加）：,箭形行列式,目标：把第一列化为,成三角形行列式,例1-16 （加） ：,箭形行列式,例1-17（加） ：,例1-17 方法二: 拆解,例1-17方法三 : 升阶(即加边 ）,（可以化为箭形行列式）,例1-18 （加） ：,各列提公因式,求第一行各元素的代数 余子式之和,解:,第一行各元素的代数余子式之和可以表示成,例1-19:,1.7 Cramer 法则,定理1.7.1(Cramer法则)：,如果线性方程组,的系数行列式,则线性方程组(1)有唯一解:,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程 组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,定理1.7.2:齐次线性方程组,齐次线性方程组有非零解的条件,( 部分待证),再把 方程依次相加，得,Cramer法则的证明：,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组(2)有唯一的一个解,上式中除了,的系数等于D,其余,的系数均等于0，而等式右端为,由于方程组(2)与方程组(1)等价,所以,也是方程组的(1)解。,解：,例(4个),例1-20： 用Cramer法则解线性方程组。,问 取何值时, 齐次线性方程组有非零解？,解：,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解。,例1-21：,对于n元齐次线性方程组的Cramer法则的推论，常被用来 解决解析几何的问题。,解：,四个平面相交于一点，即线性方程组,有唯一解。,例1-22:,从另一角度看，形式上可以把,看作是四元,线性方程组,的一组非零解。,因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是,所以，四平面相交于一点的条件为,已知三次曲线,在四个点,处的值为,试求系数,解：,例1-23：,若用Crame