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1995年量子力学考研试题 一. 线谐振子在时处于 态上，其中为线谐振子第个本征值对应当本征函数。（1） 求在态上能量的可测值、取值几率与平均值；（2） 写出时刻的波函数及相应的能量取值几率与平均值。解：线谐振子能量的本征值为 利用归一化条件 可知归一化常数为 （1）在态上，能量的可能取值及相应的取值几率为 ， ， ， 能量平均值为 （2）由于哈密顿算符不显含时间，故有 因为哈密顿量是守恒量，所以，能量的取值几率和平均值皆与时一样。二. （类似1999年第四题）对一维定态问题，若哈密顿量为 且设其均匀断续譜，即，证明（1）（2）若与无关，则证明：（1）. 利用算符微分的定义可知 而从另一个角度出发，又可以得到 比较上述两式得到， 从计算动量算符平方的平均值出发，有 整理之，有 （2）利用费曼-海尔曼定理， 得到 于是，有 三. （类似1996年第四题）两个自旋为的粒子，它们之间的相互作用为是，其中，是常数。设时，粒子1的自旋沿轴的正方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋沿轴正方向的几率。解： 体系的哈密顿算符为 选择耦合表象，由于，故四个基底为 ；在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即 可以直接写出它的解为 ， ， ， ， 已知时，体系处于 而 故有 因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为 粒子2处于轴正方向的几率为 四. 质量为、电荷为的粒子，在方向互相垂直的均匀电场和均匀磁场中运动，取电磁场的标势和矢势分别为和，其哈密顿算符为 找出包括在内的力学量完全集，并进而求出能量的本征值和本征矢。 解：将哈密顿算符改写成 进而，得到 此哈密顿算符满足的本征方程为 若令 则 而 于是有 或者写成 令 则 再令 则设，于是得到 显然，这是一个线谐振子的本征方程，体系的能量本征值为 其中，第二项为粒子沿和方向作自由运动的能量。五. 类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为 （为核电荷）当核电荷变为时，相互作用能增加，试用微扰论计算它对能量的一级修正，并与严格解比较。 解：已知类氢离子的能量本征解为 式中，为玻尔半
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