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1993年量子力学考研试题 一 .设是粒子数算符的本征函数，相应之本征值为，算符和满足对易关系。证明：（其中）和也是的本征函数其相应的本征值分别为和。解：用粒子数算符作用到上，即 上式表明是的本征态，相应的本征值为。同样，用粒子数算符作用到上，即 上式表明也是的本征态，相应的本征值为。 二. （类似2000年第二题）质量为的粒子在一维势阱 中运动，若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。解：对于的情况，三个区域中的波函数分别为 其中， 在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件 得到 于是有 此即能量满足的超越方程。当时，由于 故 ， 最后，得到势阱的宽度 三. （类似习题选讲5.7）设作一维自由运得粒子时处于 态上，求和时粒子动量与动能的平均值。解：由于动量算符与动能算符对易，它们有共同本征函数 而时的波函数 归一化常数为 动量的取值几率为 ；动量的平均值为 动能的平均值为 因为，动量算符合动能算符皆与哈密顿算符对易，故它们都是守恒量，而守恒量的取值几率和平均值不随时间改变，时的结果与时完全一样。 四. （见习题选讲6.3）对于类氢离子的任何一个本征态，利用维里定理、费曼-海尔曼定理计算与。 解：已知类氢离子的能量本征值为 （1）式中，为玻尔半径。由维里定理知 （2）总能量 （3）所以，得到 （4） 类氢离子的哈密顿算符为 （5）将视为参数，利用费曼-海尔曼定理，得到 （6）由于， （7）所以， （8）将其代入（6）式，有 （9） 五. （类似1996年第四题）设两个自旋为粒子构成的体系，哈密顿量， 其中，为常数，与分别是粒子1和粒子2的自旋算符。已知时，粒子1的自旋沿轴的负方向，粒子2的自旋沿轴的正方向，求时测量粒子1的自旋处于轴负方向的几率。解： 体系的哈密顿算符为 选择耦合表象，由于，故四个基底为 ；在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即 可以直接写出它的解为 ， ， ， ， 已知时，体系处于 因为哈密顿算符不显含时间，故时刻的波函数为 粒子1处于轴负方向的几率为 六 粒子在一维势场中运动，非简并能级为，如受到微扰的作用，求能量到二级修正，并与精确解比较。解：已知满足的本征方程为 由 可知 第个能级的一级修正为 能量的二级修正为 利用 得到 近似到
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