结构稳定与极限荷载1.ppt

第十二章 结构的极限荷载,121 概述,结构设计方法：,1、容许应力法（弹性分析法）：,结构的最大应力达到材料的极限应力u时，结构破坏 。,强度条件：,特点是结构处于弹性状态。,以受弯构件为例：,2、极限荷载法（塑性分析法）：,极限状态：结构进入塑性状态，完全丧失承载能力时的状态。,极限荷载：结构在极限状态时所能承受的荷载。,强度条件表达为：,F为实际承受的荷载：Fu为极限荷载，K为安全系数。,极限分析法特点是经济合理。,局限性 只反映结构最后状态， 不反映弹性塑性极限状态过程 给定K 在实际荷载作用下结构工作状态无法确定 设计荷载作用下，大多数为弹性状态 结构设计弹性与塑性计算相互补充,简化计算： 假设材料为理想弹塑性材料，其应力应变关系下图所示。,12-2 极限弯矩和塑性铰 破坏机构 静定梁的计算,一、弹塑性阶段工作情况,理想弹塑性材料T形截面梁处于纯弯曲状态时,弹性状态：,图b：截面处于弹性阶段，s （屈服极限） 图c：截面最外边缘处s （达到屈服极限） 屈服弯矩（弹性极限弯矩）MS = Ws（W：弯曲截面系数） 图d：截面处于弹塑性阶段。 靠外部分形成塑性区，其应力为常数，s ， 靠内部分仍为弹性区，称弹性核，其应力直线分布 图e：截面全部达到塑性极限情形， 这时的弯矩是该截面所能承受的最大弯矩 极限弯矩，以Mu 表示。,特点： 弹性阶段 应力为直线分布，中性轴通过截面的形心 弹塑性阶段 中性轴的位置将随弯矩的大小而变化 在塑性流动阶段 受拉压和受压区的应力均为常数s。,塑性铰：当截面弯矩达到极限弯矩时，截面弯矩不能增大，但弯曲变形可以任意增长，相当于无限靠近的两个截面可以产生有限相对转角，相当于该截面出现一个铰，称为塑性铰。 特点（与普通铰的区别）： （1）能承受极限弯矩Mu； （2）单向铰塑性铰只能沿弯矩增大方向发生有限的相对转角；如果沿相反方向变形，则截面立即恢复其弹性而不再具有铰的性质。,二、极限弯矩Mu 极限状态下，根据平衡条件，截面 法向应力之和应等于零，由此得,A1和A2分别为受拉区和受压区的面积。 塑性流动阶段中的中性轴应平分截面面积。 此时可求得极限弯矩如下：,S1和S2为面积A1和A2对等面积轴的静矩。WS为塑性截面系数。,相应的弹性截面系数和屈服弯矩为：,当截面为bh矩形，相应的塑性截面系数和极限弯矩为：,对于矩形截面，极限弯矩为弹性屈服弯矩的1.5倍。,截面形状系数：,几种常用截面，值： 矩形：1.5 圆形：1.7 薄壁园环形：1.271.4（一般取1.3） 工字形： 1.11.2（一般取1.15）,破坏机构极限状态： 结构出现若干塑性铰而成为几何可变或瞬变体系时 结构丧失承载能力,三、静定梁的计算,静定梁由于没有多余联系，因此，出现一个塑性铰时，即成为破坏机构。,对于等截面梁，在弯矩绝对值最大截面处达到极限弯矩，该截面形成塑性铰。,由塑性铰处的弯矩等于极限弯矩和平衡条件，就可求出静定梁的极限荷载。,梁的极限荷载:可根据塑性铰截面的弯矩等于极限值的条件，利用平衡方程求出。,设有矩形截面简支梁 在跨中承受集中荷载作用， 试求极限荷载Fu。 【解】由静力条件，有,简支梁在均部荷载q作用下，截面的极限弯矩为Mu，试求极限荷载qu,对于变截面梁，先按弹性分析，塑性铰首先出现在,破坏机构的可能形式， 既与突变截面D的位置有关， 也与极限弯矩的比值,有关。,处。,如图所示，试求极限荷载。,不同破坏机构的实现条件及其相应的极限荷载。 （1）当截面C出现塑性铰时的破坏机构，求相应的极限荷载,（2）当截面D出现塑性铰时的破坏机构，求得极限荷载：,显然，,（3）讨论 如果,则C、D都能实现塑性铰。这里处于两种情况的临界状态， 得到相同的结果：,如果,，则,如果,，则,12-3 单跨超静定梁的极限荷载,1超静定梁的破坏过程和极限荷载的特点,超静定梁多余约束足够多塑性铰 机构，丧失承载能力 等截面超静定梁（图a） （各截面Mu相同） 弹性弹塑性阶段极限状态过程: （1）弹性阶段弯矩图：PPs,（3）极限状态M图：荷载再增加，A端弯矩增量为零，当荷载增加到使跨中截面的弯矩达到Mu时，在该截面形成第二个塑性铰，于是梁即变为机构，而梁的承载力即达到极限值。此时的荷载称为极限荷载Pu极限状态（e）。,（2）弹塑性阶段M图：荷载超过Ps，塑性区首先在A端形成并扩大，然后C截面也形成塑性区。A端首先达到Mu并出现第一个塑性铰。,2. 静力法极限荷载Pu 根据极限状态的弯矩图，由平衡条件推算出来。,由此求得极限荷载,3. 机动法极限荷载Pu 可应用虚功原理来求 外力所作功为,内力所作的功为,由虚功方程,即得,超静定结构极限荷载的计算特点： （1）只需考虑最后的破坏机构。 无需考虑结构弹塑性变形的发展过程， （2）只需考虑静力平衡条件， 而无需考虑变形协调条件， 因而比弹性计算简单。 （3）不受温度变化、支座移动等因素的影响。 这些因素只影响结构变形的发展过程， 而不影响极限荷载的数值。,4. 极限平衡法超静定梁的极限荷载,只需根据最后的破坏机构应用平衡条件即可求出。这种求极限荷载的方法，叫极限平衡法。,例141,静力法：,机动法：WeWi,微元体：极限弯矩Mu与相对转角恒同向，总是作正功,例142求图示梁的极限荷载，已知极限弯矩为Mu,12- 4 比例加载时有关极限荷载的几个定理,结构和荷载较复杂真正的破坏机构较难确定， 其极限荷载的计算可籍助比例加载的几个定理 （讨论有关极限荷载的几个定理，并只讨论比例加载的情况。） 1. 比例加载 第一，各荷载增加保持固定比例，荷载包含公共参数F称荷载参数。 第二，荷载参数F只是单调增大，不出现卸载现象。 确定极限荷载参数Fu 讨论：梁和刚架等主要抗弯的结构型式， 截面的正极限弯矩与负极限弯矩的绝对值相等。,2. 极限状态应当满足的条件： （1）单向机构条件：在极限状态中，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构成为机构，可沿荷载方向（即使荷载作正功的方向）作单向运动。 （2）内力局限条件：在极限状态中，任一截面的弯矩绝对值都不超过其极限弯矩，即 |M|Mu； （3）平衡条件：在极限状态中，结构的整体或任一局部都能维持平衡。,（1）单向机构条件（e）： 机构沿荷载方向作单向运动。 （2）内力局限条件（d）： 弯矩绝对值不超过其极限弯矩， 即 |M|Mu； （3）平衡条件（d）： 维持平衡。,3. 两个定义： 可破坏荷载（F） 满足机构条件和平衡条件的荷载。 （用平衡条件求得的荷载值，不一定满足内力局限条件） 可接受荷载（F） 满足内力局限条件和平衡条件的荷载。 （即如果在某个荷载值的情况下， 能够找到某一内力状态与之平衡， 且各截面的内力都不超过其极限值的荷载值， 不一定满足单向机构条件） 极限荷载既是可破坏荷载（F）， 又是可接受荷载（F）， 因为极限状态满足上述三个的条件：,可破坏荷载（F） 满足机构条件和平衡条件 （用平衡条件求得的荷载值， 不一定满足内力局限条件） 可接受荷载（F） 满足内力局限条件和平衡条件 （某个荷载值， 有某一内力状态与之平衡， 各截面的内力不超过极限值， 不一定满足单向机构条件） 极限荷载 既是可破坏荷载（F）， 又是可接受荷载（F），,C铰：MC=3Mu Fu=12Mu/l MD=1.5Mu,Fu=6Mu/l MC=1.5Mu MD=0.75Mu,设：Mu13Mu；Mu2Mu,4. 几个定理及其证明 基本定理： F F 即可破坏荷载F恒不小于可接受荷载F。 【证】取任一破坏结构，给单向虚位移。 取可破坏荷载F、可接受荷载F， 对于相应的单向机构位移列出虚功方程，得,内力局限条件：,极限状态：极限弯矩Mu与相对转角恒同向，总作正功,由上述基本定理可导出下面三个定理： （1）极小定理（上限定理）： Fu F+ 可破坏荷载是极限荷载的上限。 或者说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。 【证明】因为Fu 属于 F（极限荷载是可接受荷载） 故由基本定理即得 Fu F+ （2）极大定理（下限定理）： Fu F 可接受荷载是极限荷载的下限， 或者说，极限荷载是可接受荷载中的极大者。 【证明】因为极限荷载是可破坏荷载，Fu F （3）唯一性定理：极限荷载值是唯一确定的。因为Fu1，Fu2既是可破坏荷载，又是可接受荷载： Fu1 Fu2 ， Fu1 Fu2 ，所以 Fu1 Fu2,例122a 试求图126所示梁在均布荷载作用下的极限荷载值,可应用极小定理来求qu。 塑性铰A可确定，但C待定，设为x。 求可破坏荷载q，对可能位移列出虚功方程,（1）极小定理（上限定理）： Fu F+ 可破坏荷载是极限荷载的上限。 或者说，极限荷载是可破坏荷载中的极小者。,为了求q 的极小值，令,得,弃去x1，由x2求得极限荷载为,12-5 计算极限荷载的穷举法和试算法,结构和荷载较复杂时，真正的破坏机构较难确定， 根据比例加载的几个定理，用下述方法计算极限荷载： 穷举法机动法或机构法 列举所有可能的破坏机构 由平衡条件或虚功原理求相应的荷载 取其最小者极限荷载 试算法 任选一种破坏机构 由平衡条件或虚功原理求相应的荷载作M图 若满足内力极限条件极限荷载 若不满足内力极限条件 另选一种破坏机构在行试算直至满足,例12-3试求图a所示变截面梁的极限荷载 解 破坏机构2个塑性铰；可能位置：A、D、C （1）穷举法 机构1 ：A、D塑性铰（图b）,机构2 ：A、C塑性铰（图c）,机构3 ：D、C塑性铰（图d）,选最小值,（2）试算法 机构1 ：A、D塑性铰（图12-7b）， 由虚功原理求得 ：,为可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件； 分段叠加法绘出M图（图e）， 不满足内力极限条件（MCMu） 机构2 ：A、C塑性铰（图12-7c），求得,可破坏荷载，满足机构条件和平衡条件； 分段叠加法绘出M图（图f）， 满足内力极限条件，即同时为可接受荷载极限荷载,12-6 连续梁的极限荷载,连续梁（图128a） 破坏机构的可能形式： 各跨独立形成破坏机构 （图b、c、d）， 不可能由相邻几跨联合 形成一个破坏机构（图e） 因为荷载方向均向下， 各跨的最大负弯矩 只可能发生在支座截面处。 不可能一跨中部出现 负弯矩塑性铰（图e）,连续梁的极限荷载计算： 对每一个单跨破坏机构分别求出相应的破坏荷载 取其中的最小值 得到连续梁的极限荷载。,【例12-4 】 试求图所示 连续梁的极限荷载。 各跨为等截面，极限弯矩如图 每一个单跨破坏机构为 图b、c、d： （图d中应为F截面为塑性铰）,AB跨破坏时（图b）：,BC跨破坏时（图c）：,CD跨破坏时（图d） C支座处取较小的Mu ：,比较以上结果， 可知CD跨首先破坏， 所以极限荷载为,12-7 刚架的极限荷载,【图12-10】图示刚架，各杆为等截面，极限弯矩：AC、BEMu；CE2Mu。计算极限荷载。,可知塑性铰只可能在A、B、C、D、E五个截面出现。,刚架极限荷载计算：穷举法和试算法。,首先确定破坏机构的可能形式：,【解】,由弯矩图的形状（求解器计算）,刚架3次超静定，故只要出现4个塑性铰，或直杆上出现三个塑性铰即可形成破坏机构。,用穷举法计算时，应找出所有的可能破坏机构，并由平衡条件求出相应荷载，取最小值即为极限荷载。,可能的破坏机构：,梁机构,侧移机构,联合机构,联合机构,（基本破坏机构）,穷举法：,机构2（侧移机构）：,机构1（梁机构）：,机构3（侧移机构）,机构4（侧移机构）,选取最小的， 所以极限荷载为,试算法：,选机构2（侧移机构）： 求相应荷载,作M图（图1211a）： 叠加法作CE的M图,得MD = 2.67Mu 2 Mu ， 不满足CE的内力局限条件 荷载P不是可接受荷载。,选机构3（联合机构）： 求相应荷载,作M图，叠加法作CE的M图 得MC = 0.42Mu Mu ， 满足AC的内力局限条件 荷载是可接受荷载。 故机构3即为极限状态， 极限荷载为,单层多跨刚架,先找出基本破坏机构形式,再利用基本破坏机构组合其他可能的破坏机构,结构超静定次数为n，可能出现的塑性铰数为h，则基本机构数为m=h-n,*12-8 矩阵位移法求刚架的极限荷载,以矩阵位移法为基础的增量变刚度法， 简称为增量法或变刚度法， 适合电算解复杂的极限荷载问题。 假设： （1）当出现塑性铰时，假设塑性区退化为一个截面 （塑性铰处的截面），而其余部分仍为弹性区。 （2）荷载按比例增加 所有荷载可用一个荷载参数F表示， 且为结点荷载因而塑性铰只出现在结点处。 若有非结点集中荷载，可把荷载作用截面当做结点处理 （3）每个杆件的极限弯矩为常数， 但各杆的极限弯矩可不相同。 （4）忽略剪力和轴力对极限弯矩的影响。,1增量变刚度法的基本思路 把原来的非线性问题转化为分阶段的几个线性问题 两个特点： （1）把总的荷载分成几个荷载增量， 进行分阶段计算，因而叫做增量法。 以新塑性铰的出现作为分界标志， 把加载的全过程分成几个阶段： 由弹性阶段开始，过渡到一个塑性铰阶段， 再过渡到两个塑性铰阶段， 最后达到结构的极限状态。 每一个阶段有一个相应的荷载增量， 由此可算出相应的内力和位移增量， 累加后便得到总的内力和位移。,（2）对于每个荷载增量，仍按弹性方法计算， 但不同阶段要采用不同的刚度矩阵， 因而叫做变刚度法。 在施加某个荷载增量的阶段内， 由于没有新的塑性铰出现， 因此结构中塑性铰的个数和位置都保持不变 在此阶段内的结构 可看作是具有几个指定铰结点的弹性结构； 当由前一阶段转到新的阶段时， 由于有新的塑性铰出现， 结构就变为具有新的铰结点的弹性结构， 其刚度矩阵需要根据新塑性铰情况进行修改,F,1,F1,F=F1+F,F1,F,=,+,以图a所示的梁为例加以说明。 （1）弹性阶段： 零荷载P1 第一个塑性铰出现,【解】单位荷载P=1作用单位弯矩图（ 图），,其中控制截面A和B的弯矩组成单位荷载的弯矩向量,相应截面的极限弯矩 和单位弯矩相比:,A点比值较小,最小比值发生在A点，其值为,上述最小比值我们用P1来表示。 当荷载增大到：,梁的弯矩为：,相应的弯矩向量,为：,（2）一个塑性铰阶段： P1 P2 第二个塑性铰出现 【解】截面A应改为单向铰结点 结构降低一次超静定， 改成简支梁。 单位荷载P=1作用 弯矩图（ 图）。 第二个塑性铰出现时 所需施加的荷载增量 可按下式确定：,此荷载增量引起弯矩增量为,（3）极限状态 出现两个塑性铰后，结构已成为单向机构， 从而达到极限状态。极限状态的弯矩M：,极限荷载为：,例12-6试用增量变刚度法求 图示刚架的极限荷载。 解（1）第一阶段计算 原刚架在单位荷载P=1作用下， 单位（力）弯矩图（图b ） 各控制截面的比值 中，,以截面D的比值为最小， 即为第一阶段终结荷载：,第一个塑性铰出现在截面D。(图c),（2）第二阶段计算 把截面D改为铰结点， P=1， 作出新的单位弯矩图 （图a- 图）,在各控制截面中 以截面E的比值为最小，,这个比值就是第二阶段的 荷载增量，即,弯矩增量为,荷载和弯矩的累加值分别为：,第二个塑性铰在截面E出现(图c),（3）第三阶段计算 除截面D外， 再把截面E改为铰结点， P=1， 作出新的单位弯矩图 （ 图a- 图）,求各控制截面的比值,其中以截面A的比值为最小,P3作用下的弯矩增量为,荷载和弯矩的累加值分别为,第三个塑性铰在截面 A处出现(图c),（4）第四阶段计算 再把截面A改为铰结点， P=1，新的单位弯矩图（ ),求各控制截面的比值,其中以截面C的比值为最小,M4 = M4P4（图b）,（5）极限状态 除D、E、A处， 再把截面C改为铰结点， 刚架已变为机构， 处于极限状态M4， 于是P4就是极限荷载，即,荷载和弯矩的累加值分别为,第四个塑性铰在截面C处出现。,使用SMSolver计算Mi图 VB程序设计变刚度法,第十三章 结构弹性稳定 131 概述,结构设计 强度验算：最基本的和必不可少的 稳定验算：在某些情况下显得重要 薄壁结构高层建筑：剪力墙、筒中筒结构 高强度材料结构钢结构： 钢框架、大跨屋架、桥梁 受压比较容易丧失稳定 结构稳定计算： 小挠度理论方法简单，结论基本正确。 大挠度理论结论精确，方法复杂。,结构失稳：原始的平衡状态，随荷载增大，丧失其稳定性。 （由稳定平衡不稳定平衡状态）,设结构原来处于某个平衡状态，受到轻微干扰而稍微偏离其原来位置； 1、干扰消失后： 恢复平衡位置稳定平衡状态 直线平衡形式，只受压力 2、继续偏离，不能回到原来位置 不稳定平衡状态 弯曲平衡形式，受压、弯 3、中性平衡状态（随遇平衡） 由稳定平衡到不稳定平衡过渡的 中间状态。,结构的平衡状态的稳定性（以直杆受压为例）,1分支点失稳（第一类稳定问题） 以简支压杆为例。（图a） 完善体系（理想体系）: 杆轴理想直线 荷载理想中心受压荷载（无偏心） 微小干扰发生弯曲（图b）,随压力F增大， 考查F与中点挠度之间的关系曲线 F-曲线（平衡路径）（图c）： OAFFcr，0，直线平衡 A点FFcr，直线平衡 弯曲平衡 （力不增加，位移可以增加）,稳定问题分类：,直线形式的平衡状态 稳定： 单纯受压，无弯曲 原始平衡状态： 路径I原始平衡路径： 曲线由直线OA表示。 （受到干扰，偏离平衡位置； 干扰消失，恢复平衡位置） 原始平衡状态是稳定的。 （唯一的平衡形式）；,F2 Fcr ： 两种不同形式的平衡状态： 直线形式 路径I （AD段） 弯曲形式 路径II （AC段：大挠度理论） （AB段：小挠度理论） 点D 对应的平衡状态 是不稳定的： 受到干扰而弯曲， 干扰消失，继续弯曲（偏离） 直到C,D,分支点： 两条平衡路径和的交点A 分支点失稳： 平衡形式的二重性： OA稳定平衡 AD不稳定平衡 稳定性的转变。 分支点A 对应的荷载临界荷载 对应平衡状态临界状态。 结构分支点失稳 特征：分支点 F Fcr 原始平衡形式 由稳定转为不稳定， 并出现新的平衡形式。,D,I（稳定）,I（不稳定）,II,丧失第一类稳定的现象可在其他结构中发生。 图示承受荷载的结构： a所示承受均布水压力的圆环：园非园 b承受均布荷载的抛物线拱 c刚架：轴向受压压缩和弯曲 d悬臂工字梁：平面弯曲斜弯曲和扭转,丧失第一类稳定性的特征： 结构的平衡形式 即内力和变形状态 发生质的突变： 原有平衡形式成为不稳定， 同时出现 新的有质的区别的 平衡形式。,2极值点失稳 （第二类稳定问题） 以简支压杆为例（图133） 非完善体系（图a） ： 具有初曲率 承受偏心荷载 加载 处于受压和弯曲平衡状态 F曲线（图b） 小挠度理论（- - - -） F Fe(欧拉临界值) 挠度 大挠度理论（-） F Fcr（极值点A） 极值点后荷载下降 不稳定,Pe,大挠度理论： F Fcr OA稳定平衡 A点以后，荷载下降， 位移增加 AB不稳定平衡 A点为极值点 荷载达到极大值。 平衡状态是不稳定的。 在极值点处 平衡路径 由稳定平衡转变为不稳定平衡。 这种失稳形式称为极值点失稳。 极值点相应的荷载极大值临界荷载。,丧失第二类稳定性的特征： 结构的平衡形式不发生质的突变变形按原有形式迅速增长，以致使结构丧失承载能力。 非完善体系的失稳形式 极值点失稳。 F图：平衡形式不出现分支现象 而 F曲线具有极值点,3. 跳跃失稳：如扁平拱在竖向荷载作用下的失稳,稳定计算确定临界荷载 工程结构： 实际情况第二类稳定问题，分析复杂 简化计算第一类稳定问题， 分析简单，偏心的影响通过各种系数解决； 基本方法： 根据平衡的二重性 结构失稳时可具有两种平衡形式出发 确定临界荷载。 静力法应用静力平衡条件 能量法应用以能量形式表示的平衡条件,a一个自由度 b两个自由度 c无限多自由度,结构稳定的自由度 确定结构失稳时所有可能的变形状态 所需的独立参数数目,4小结 结构的失稳存在的基本形式： 完善体系是分支点失稳； 非完善体系是极值点失稳。 分支点失稳形式的特征： 存在不同平衡路径的交叉， 在交叉点处出现平衡形式的二重性。 极值点失稳形式的特征： 虽然只存在一个平衡路径，但平衡路径上出现极值点。 结构稳定问题 大挠度理论能得出精确的结论， 小挠度理论优点：计算简单 从实用的观点特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值，但也应注意某些结论的局限性 讨论：完善体系分支点失稳问题， 根据小挠度理论求临界荷载。,13-2 用静力法确定临界荷载,以结构失稳时平衡的二重性为依据， 应用静力平衡条件， 寻求结构在新形式下能维持平衡的荷载， 其最小值即为临界荷载。 单自由度完善体系 分支点失稳 图示刚性压杆 单自由度完善体系。 a竖直位置（图a） 原始平衡形式 b倾斜位置（图b） 按自由度运动时是否平衡？,a原始平衡形式（图a） b倾斜位置（图b） 是否平衡？ 平衡条件： mA = 0, Fl sink0 弹簧反力：k （小挠度理论） 位移微小sin 则（Flk）0 平衡方程有两个解： = 0 原始平衡形式。 Flk0 新的平衡形式。 稳定方程（特征方程） 解：临界荷载 Fcr = kl,Pl sin,平衡方程有两个解： = 0 原始平衡形式。 Pl k 0 新的平衡形式。 稳定方程（特征方程） 解：临界荷载 Fcr = kl P曲线（图c）中， 交点A分支点。 将原始平衡路径I为分两段： OA上的点属于稳定平衡， = 0 AB上的点属于随意平衡状态， 可为任意值 （简化计算的假象） 若大挠度理论： Fl sin k0， 0，则如AC）,对于n个自由度结构， 可对新的平衡形式列出n个平衡方程， 应该是n个独立参数的齐次方程。 根据n个参数不能全为零（否则对应原始平衡形式）， 因而系数行列式D等于零的条件建立稳定方程：D0,【例131】 两个自由体系，求其临界荷载 （图a）原始平衡形式。 （图b）倾斜位置 新的平衡形式 应用小挠度理论 假设位移是微量 齐次方程有两类解： 即零解和非零解 非零解y1、y2是新的平衡形式,C点支座反力为：FYC F 变形状态的平衡条件:,AB：mB0 A-B-C : mC0,体系由原始平衡状态 转到任意变形状态（图b） 设A点和B点的水平位移分别为y1和y2 相应的支座反力分别为：,系数行列式不等于零, 则零解（即y1、y2全为零）是齐次方程（f）的唯一解 原始平衡形式是体系唯一的平衡形式 系数行列式等于零，即,除零解外，齐次方程（f）还有非零解。 除原始平衡形式外，体系还有新的平衡形式 平衡形式即有二重性 体系处于临界状态的静力特征 稳定问题的特征方程,（f）,解得两个特征值：,最小的特征值临界荷载,特征方程,展开,结构失稳形式：,将特征值Fcr代回齐次方程 可求得y1/y2的比值。 位移比值组成的向量 特征向量：,图136c 仅理论上存在,无限自由度结构 静力法确定临界荷载步骤相同 首先确定结构的新的平衡形式 列出平衡方程微分方程（非代数方程） 求解 边界条件 一组与未知常数数目相等的齐次方程； 非零解 系数行列式D0 稳定方程（超越方程） （解）无穷多根最小者临界荷载,中心受压弹性直杆 M = Fy FS（l x） 挠曲线的近似微分方程：,通解：,已知边界条件： x 0，y 0 ， y 0， x l，y 0 代入通解，可得关于A、B、FS/F 的齐次方程：,零解原始直线平衡形式,非零解新的平衡形式 系数行列式应等于零,特征方程：D0,y1 nl 和 y2 tgnl 的函数图线， 其交点横坐标即为方程的根。 3/2= 4.71，nl=4.7左右 试算法：（表131） 特征值：nl 4.493,133 具有弹性支座的压杆稳定,（图138）刚架 压杆 弹性支座 （图a） AB压杆， BC杆对AB杆的 转动约束作用 （图b） 简化为弹性支座的压杆 （图c） 转动刚度：,图138,坐标系xy 分支点失稳新的平衡形式： y1 B端反力矩：,A端反力FS：,取截面x，杆段Ax：平衡微分方程：,式中三个待定常数A、B、1 ， 由边界条件确定： x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = 0,通解,特征方程：,弹簧刚度 k1已知 可由超越方程求解nl 其最小正根即可求得临界荷载Fcr,特殊情况： k1 0 ，即两端铰支，,k1 ，即一端铰支，一端固定,一般情况（图139c） 压杆三个弹性支座 坐标系xy 分支点失稳 新的平衡形式y： 边界条件： 杆端0 、 1 、2 杆端反力：,任取截面x，杆段1x,任取截面x，杆段1x：平衡微分方程：,式中4个待定常数A、B、 、 1 ，由边界条件确定： x = 0 , y = 0 ; y =1 x = l , y = ; y= -2,5个待定常数，其中1个为不独立的，由整体平衡条件可得其它常数表示,整体：,关于A、B、2的 齐次方程非零解： 特征方程稳定方程:,（136） 弹性支座压杆 稳定方程的 一般情形,（图138b）一端弹性固定，另一端铰支。 k2 = 0，k3 = （= 0）， 2 不作为独立参数,k2 = 0,0,0,0,整体平衡，k20,（133）,（图139a）一端弹性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0,（图139a）一端弹性固定，另一端自由。 k2 = 0，k3 = 0,（134）,（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。 k2 = 0，k1 = ,（图139b）一端固定，另一端侧向弹性约束。 k2 = 0，k1 = ,（135）,【例132】 （图1310） 对称刚架对称荷载（图a） 失稳形式正对称（图b） 反对称（图c）,正对称取半跨（图d） 弹性转动约束： k1 2i1 22EI/l 4EI/l 由式（133）,2i1,反对称取半跨（图e） 与（图139a）相同 （水平位移无约束） 弹性转动约束： k1 32i1 322EI/l 12EI/l 由式（154）,与典型压杆形式相比： 正对称失稳比两端简支增加弹性约束 Fcr 14.67EI/l2 Fe 2EI/l2 （9.87） 反对称失稳比一端固定，一端自由减少约束 Fcr 2.10EI/l2 Fcr 2EI/（4l2）（2.47） 所以结构必以反对称形式失稳。,13-4 用能量法确定临界荷载,基本方法有两类： 根据临界状态的静力特征而提出的方法，称为静力法； 根据临界状态的能量特征而提出的方法，称为能量法。 静力法问题： 微分方程具有变系数，不能积分为有限形式 边界条件较复杂，微分方程为髙阶行列式 不易展开和求解 能量法较为简便 结构失稳时平衡的二重性为依据 应用能量形式表示平衡条件 确定临界荷载。,势能驻值条件用位移表示的平衡方程 在分支点失稳问题中， 临界状态的能量特征是： 势能为驻值，且位移有非零解。 势能是位移y1的二次式，其关系曲线是抛物线。（图） F Fcr ，势能是负定的。 原始平衡状态是不稳定平衡状态。 F= Fcr ， 体系处于中性平衡状态，即临界状态 荷载即临界荷载 临界状态的能量特征还可表述为： 在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。 对于单自由度体系，则由正定过渡到负定。,势能驻值原理 能量形式表示的平衡条件： 对于弹性结构， 在满足支承条件和位移连续条件的 一切虚位移中， 同时又满足平衡条件的位移 （即真实位移）， 使结构的势能为驻值。 即结构势能的一阶变分对于零 EP0 结构势能 结构应变能 外力势能 EP = VE + V 应变能 EP = ky2i（按材料力学公式计算） 外力势能 V = Fii（外力虚功的负值）,有限自由度结构,一组关于ai的齐次方程组， 要使ai不全为零， 则方程组的系数行列式应等于零 稳定方程 临界荷载,结构的势能,势能驻值原理,【例133】 单自由体系(图a) 失稳时微小偏移（图b）,弹簧应变能为,荷载势能为,为杆端竖向位移,体系的势能为,y10， 临界荷载,【例134】（图1312a） 具有两个变形自由度的体系。,能量法,弹性支座 应变能,荷载势能,在图b中，1点的竖直位移为,结构势能 EPVEV,结构势能,应用势能驻值条件：,得势能驻值条件的解包括全零解和非零解。 求非零解，建立特征方程,展开式得,解得两个特征值：,最小的特征值叫做临界荷载，即,无限自由度结构势能,应变能：,荷载作用点下降 取微段ds与投影dx之差,积分,外力势能：,外力势能,结构势能,其中挠曲线函数 y 未知 无限多独立参数。 结构势能为挠曲线函数y的函数 泛函求极值问题变分法问题 瑞利李兹法 近似为有限多自由度,应变能,瑞利李兹法： 假设挠曲线为有限个已知函数的线性组合,i(x)满足位移边界条件的已知函数 表132（p34） ai任意参数，共n个 原体系被近似地看作有n个自由度的体系。 求解Fcr 为近似解（按有限自由度求解）,* Fcr Fcr (精确解)（p34） 因为所假设的挠曲线与真实的曲线不同， 故相当于加入了某些约束， 从而增大了压杆抵抗失稳的能力,弯曲应变能,再求与F相应的位移（压杆顶点的竖向位移）。 为此，先取微段AB进行分析。,荷载势能,体系势能,势能驻值条件,即,（i1,2, . n）,【例135】 图示两端简支的中心受压柱， 试用能量法求其临界荷载。 简支压杆的位移边界条件为： 当x=0 和x=l 时，y=0 （1）假设挠曲线为正弦曲线：,满足压杆两端的边界条件 应变能及外力势能 :,结构势能：,与静力法的精确解相同， 所设挠曲线即是真实挠曲线。,（2）假设挠曲线为抛物线,（3）取跨中横向集中力FS作用下的挠曲线作为变形形式,误差为0.01,（4）讨论：假设挠曲线临界荷载值 抛物线误差为21.6%。 跨中横向集中力作用下的挠曲线误差为1.3%， 正弦曲线，失稳真实变形曲线临界荷载是精确解,误差为21.6,【例136】 试求图137所示压杆的临界荷载,坐标系如图，两端位移边界条件为 当x=0时，y=0，y=0 当x=l时，y=0 假设变形曲线为 取表132中第四种 相应位移条件的多项式级数前两项：,a1、a2不全为零：,【例137】 图示等截面柱，下端固定、上端自由， 试求在均匀竖向荷载作用下的临界荷载值qcr,均布荷载q，需要另行计算外力势能： 微段ds转角y，产生竖向位移：,微段以上荷载FS=q（l-x） 在此位移上做功 FSd,所有荷载所作之功为沿杆长积分：,ds,d,坐标系如图 两端位移边界条件为 当x=0时， y=0 y=0 根据上述位移边界条件， 假设变形曲线为 取表132中 相应位移条件的三角级数（a）的两项：,积分求应变能与外力势能：,135 变截面压杆的稳定,两种变截面压杆：阶梯形、截面惯性矩按幂函数变化 1阶梯型直杆（图1316a） 上下两部分刚度为：EI1 、EI2 压杆失稳时 上下两部分的位移为： y1 、y2 平衡微分方程：,通解：,有五个未知常数：A1、B1、A2、B2、 已知边界及连续条件：,代入通解可得：,得方程：,稳定方程：,展开：,取后三个方程：（A2由确定）,（1319）该式只有