2009年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷2)试题及点评

2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. A. B. C. D. 2. 设集合，则=A. B. C. D. 3. 已知中， 则A. B. C. D. 4.曲线在点处的切线方程为A. B. C. D. 5. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所成的角的余弦值为A. B. C. D. 6. 已知向量，则A. B. C. D. 7. 设，则A. B. C. D. 8. 若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为A B. C. D. 9. 已知直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则A. B. C. D. 10. 甲、乙两人从4门课程中各选修2门则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种11. 已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为m A B. C. D. 12.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现有沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是A. 南 B. 北C. 西 D. 下第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡上13. 的展开式中的系数为 14. 设等差数列的前项和为，若则 .15.设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆若圆的面积等于，则球的表面积等于 .16. 已知为圆:的两条相互垂直的弦，垂足为,则四边形的面积的最大值为 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分10分）设的内角、的对边长分别为、，求18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小19（本小题满分12分）设数列的前项和为 已知（I）设，证明数列是等比数列（II）求数列的通项公式20（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（III）记表示抽取的3名工人中男工人数，求的分布列及数学期望21（本小题满分12分） 已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为 （I）求，的值； （II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由22.(本小题满分12分)设函数有两个极值点，且（I）求的取值范围，并讨论的单调性；（II）证明：2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）理科数学试题答案与解读一、选择题1.A【解读与点评】原式.故选A.2.B.【解读与点评】.故选B.3D.【解读与点评】已知中，. 故选D.4.B.【解读与点评】,故切线方程为,即 故选B.5.C.【解读与点评】令则,连 异面直线与所成的角即与所成的角在中由余弦定理易得故选C6.C.【解读与点评】故选C7.A.【解读与点评】 .故选A.8.D.【解读与点评】，又.故选D9.D.【解读与点评】设抛物线的准线为直线 恒过定点P .如图过分 别作于,于, 由,则,点B为AP的中点.连结,则, 点的横坐标为, 故点的坐标为, 故选D10.C.【解读与点评】用间接法即可.种. 故选C11.A.【解读与点评】设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又 故选A12.B.【解读与点评】展、折问题易判断选B二、填空题13. 6【解读与点评】，只需求展开式中的含项的系数：14. 9【解读与点评】为等差数列，15. 【解读与点评】设球半径为，圆的半径为，因为由得.故球的表面积等于.16. 5【解读与点评】设圆心到的距离分别为,则.四边形的面积三、解答题17. 【解读与点评】分析：由，易想到先将代入得然后利用两角和与差的余弦公式展开得；又由，利用正弦定理进行边角互化，得，进而得.故大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当时，由，进而得，矛盾，应舍去也可利用若则从而舍去不过这种方法学生不易想到评析：本小题考生得分易，但得满分难18. 【解读与点评】（I）分析一：连结BE，为直三棱柱， 为的中点，又平面，（射影相等的两条斜线段相等）而平面，（相等的斜线段的射影相等）分析二：取的中点，证四边形为平行四边形，进而证，得也可分析三：利用空间向量的方法具体解法略（II）分析一：求与平面所成的线面角，只需求点到面的距离即可作于，连，则，为二面角的平面角，.不妨设，则.在中，由，易得. 设点到面的距离为，与平面所成的角为利用，可求得，又可求得 即与平面所成的角为分析二：作出与平面所成的角再行求解如图可证得，所以面由分析一易知：四边形为正方形，连，并设交点为，则，为在面内的射影以下略分析三：利用空间向量的方法求出面的法向量，则与平面所成的角即为与法向量的夹角的余角具体解法详见高考试题参考答案总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况命题人在这里一定会兼顾双方的利益19. 【解读与点评】（I）由及，有由， 则当时，有得又，是首项，公比为的等比数列（II）由（I）可得，数列是首项为，公差为的等比数列， 评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找第（II）问中由（I）易得，这个递推式明显是一个构造新数列的模型：，主要的处理手段是两边除以总体来说，09年高考理科数学全国I、这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心20. 【解读与点评】分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可另外要注意此分层抽样与性别无关（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难 从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率（III）的可能取值为0，1，2，3，分布列及期望略评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易在计算时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力21. 【解读与点评】 (I）设，直线，由坐标原点到的距离为， 则，解得 .又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即整理得又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够所谓“算”，主要讲的是算理和算法算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质有时候算理和算法并不是截然区分的例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点22. 【解读与点评】（I） 令，其对称轴为由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得当时，在内为增函数；当时，在内为减函数；当时，在内为增函数；（II）由（I），设，则当时，在单调递增；当时，在单调递减故2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）文科数学第卷（选择题） 本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的参考公式： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m如果事件互斥，那么 球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中表示球的半径球的体积公式如果事件在一次试验中发生的概率是，那么次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率其中表示球的半径一 选择题（1）已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，M =1，3，5，7，N =5，6，7，则Cu( MN)=(A) 5，7 （B） 2，4 （C）2.4.8 （D）1，3，5，6，7（2）函数y=(x0)的反函数是 （A）（x0） （B）（x0） （B）（x0） （D）（x0） （3） 函数y=的图像 （A） 关于原点对称 （B）关于主线对称 （C） 关于轴对称 （D）关于直线对称（4）已知ABC中，则(A) (B) (C) (D) （5） 已知正四棱柱中，=，为重点，则异面直线与所形成角的余弦值为（A） (B) (C) (D) （6） 已知向量a = (2,1)， ab = 10，a + b = ，则b = （A） （B） （C）5 （D）25（7）设则（A） （B） （C） （D）（8）双曲线的渐近线与圆相切，则r=（A） （B）2 （C）3 （D）6（9）若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为(A) (B) (C) (D) （10）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（A）6种 （B）12种 （C）24种 （D）30种（11）已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点若,则k=(A) (B) (C) (D)（12）纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“”的面的方位是（A）南 （B）北 （C）西 （D）下上东 第卷（非选择题）本卷共10小题，共90分二填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填写在答题卡上相应位置的横线上.（13）设等比数列的前n项和为若，则= （14）的展开式中的系数为 （15）已知圆O：和点A（1，2），则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于 （16）设OA是球O的半径，M是OA的中点，过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C若圆C的面积等于，则球O的表面积等于 三、解答题：本大题共6小题，共70分解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答过程写在答题卡的相应位置（17）（本小题满分10分）已知等差数列中，求前n项和. （18）（本小题满分12分）设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，,，求B.（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，ABAC,D、E分别为AA1、B1C的中点，DE平面BCC1（）证明：AB=AC （）设二面角A-BD-C为60,求B1C与平面BCD所成的角的大小ACBA1B1C1DE（20）（本小题满分12分）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人现采用分层抽样（层内采用不放回简单随即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核（）求从甲、乙两组各抽取的人数；（）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；（）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率 （21）（本小题满分12分）设函数 ，其中常数a1()讨论f(x)的单调性;()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围 （22）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B 两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由2009年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）文科数学试题答案及解读一 选择题（1）C （2）B （3）A （4）D （5）C （6）C（7）B （8）A （9）D （10）C （11）D （12）B二填空题 （13）3 （14）6 （15）（16）8三解答题 17【解读与点评】设的公差为，则 即解得因此（18）【解读与点评】由 cos（AC）+cosB=及B=（A+C）得 cos（AC）cos（A+C）=， cosAcosC+sinAsinC（cosAcosCsinAsinC）=, sinAsinC=.又由=ac及正弦定理得 故 ， 或 （舍去），于是 B= 或 B=.又由 知或所以 B= （19）【解读与点评】解法一：（）取BC中点F，连接EF，则EF，从而EFDA连接AF，则ADEF为平行四边形，从而AF/DE又DE平面，故AF平面，从而AFBC，即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC（）作AGBD，垂足为G，连接CG由三垂线定理知CGBD，故AGC为二面角A-BD-C的平面角由题设知，AGC=600. 设AC=2，则AG=又AB=2，BC=，故AF=由得2AD=，解得AD=故AD=AF又ADAF，所以四边形ADEF为正方形因为BCAF，BCAD，AFAD=A，故BC平面DEF，因此平面BCD平面DEF连接AE、DF，设AEDF=H，则EHDF，EH平面BCD连接CH，则ECH为与平面BCD所成的角 因ADEF为正方形，AD=，故EH=1，又EC=2，所以ECH=300，即与平面BCD所成的角为300.解法二：（）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系Axyz设B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则（1，0，2c）,E（，c）.于是=（，0），=（-1，b,0）.由DE平面知DEBC，