(考试资料下载)万学海文2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一全真模拟试题及答案 模拟题（3）答案

数学三一、选择题1、【详解】应选(B).由已知条件，可设 ，则. 若，则+是关于的n阶无穷小，此时m=n;若a+b=0, 则+是关于的高阶无穷小，必有。故应选(B)。2、【详解】令，则时，且， ， 由积分中值定理得到：存在，使，于是 . 令，由闭区间上连续函数的零点定理知，必有。 当时，因单调减少，必有，从而；当时，有，故为的极大值点，因此应选(D).3、【详解】由 ，当固定时，对单调下降，故对时，有 ； 又由，当固定时，对单调上升，故对时，有 ；因此，当时，有 .应选(C).4、【详解】应选(A). 因为，。所以，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，法线斜率为。由已知条件知，所以， 法线斜率为。5、【详解】选项（C）正确.6、 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B).7、【详解】应选. .8、【详解】应选. 事件“第次命中目标恰在第次射击时” “前次射击中恰好命中次且第次射击时恰好命中”. 因此 .二、填空题9、【详解】（1）原式=10、【详解】与都是相应齐次方程的解, 也是齐次方程的解, 和是两个线性无关的齐次解; 而是非齐次方程的解.因此,该二阶线性非齐次微分方程的通解为. 求导得 在求导得 消去便得微分方程 .11、【详解】令，则 . 故 .12、【详解】根据收敛半径的定义，x=2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。又因为在x=0处，级数=条件收敛，因此应填0, 2.13、【解】特征值分别为，所以正、负惯性指数分别为2，1。14、【详解】 因为，所以与相互独立，. 又 ，三、解答题15、【详解】= =38.16、【分析】本题主要考查积分不等式的证明，是一种新出现的考试题型，利用被积函数的不等式和分部积分运算加以证明。引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.【详解】令F(x) = f (x) - g(x)，由题设G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.从而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 . 因此 .17、【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得 .两边对t求导得 将上式改写为 ，即 令，则有 当时，由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为或18、【证明】由拉格朗日中值定理，有 .因为，所以收敛，由比较判别法知收敛，从而级数绝对收敛。19、【详解】计算 因此。求导，得，即 .通解为 。在原方程中，令，得，代入通解中，定出。故所函数数为 。20、【详解】（1）等价于，故当时，的秩为2； 当时，的秩为3。（2）当时，的秩为2，的特征值为4，4，0，其特征向量为 则21、【详解】因为，且有 ，于是有 ，.可见线性无关，且为的特解。又由知为的非零解，可作为基础解系，故的通解为，其中为任意常数。22、【详解】区域D实际上是以为顶点的正方形区域，D的面积为.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度（）设，. （1） X的概率密度，在区域D上，.当时， 当时， 当或时，.于是 X的概率密度为 （2）在区域D上，所以 . 当时，；当时，； 当时，. 则 于是 Z的概率密度为 . （） 因为 X的概率密度为偶函数，所以，所以 ，.（），所以，在X=0条件下，Y的条件密度23、【详解】（）因为，即X服从参数为的指数分布，所