(考试资料下载)万学海文2008年全国硕士研究生入学统一考试数学一全真模拟试题及答案 模拟题（4）答案

数学四 一、选择题 1、【详解】应选(B).由已知条件，可设 ，则. 若，则+是关于的n阶无穷小，此时m=n;若a+b=0, 则+是关于的高阶无穷小，必有。故应选(B)。2、【详解】由 ，当固定时，对单调下降，故对时，有 ； 又由，当固定时，对单调上升，故对时，有 ；因此，当时，有 .应选(C).3、【详解】令，则时，且， ， 由积分中值定理得到：存在，使，于是 . 令，由闭区间上连续函数的零点定理知，必有。 当时，因单调减少，必有，从而；当时，有，故为的极大值点，因此应选(D).4、【详解】应选(A). 因为，。所以，曲线y=f(x)在点处的切线斜率为，法线斜率为。由已知条件知，所以， 法线斜率为。5、【详解】选项（C）正确.6、 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但 两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住 与 ，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题不成立，排除(D),故正确选项为(B).7、【详解】应选.8、【详解】应选. 因为，所以， ，.因此应选.二、填空题9、【详解】（1）原式=10、【详解】由于题设只给出可导，故求极限时无法使用洛必达法则，只能应用导数定义进行计算。 = =.11、【详解】令，则 . 故 12、【详解】对所给关系式两边关于求导，得，且有初始条件. 于是，积分得，故 令应选（B）。13、【详解】或.14、【详解】 ，因为，所以必有，. ， 于是 ，服从参数为的指数分布， 所以 .三、解答题15、【详解】= =38.16、【证明】设 ，则在上连续，且 ， 所以，根据闭区间上的零点定理知，至少存在一点，使 ，即 . 在和上分别应用拉格朗日中值定理，得 至少存在一点，使 ； 至少存在一点，使 .因此有 .17、【详解】计算 因此。求导，得，即 .通解为 。在原方程中，令，得，代入通解中，定出。故所函数数为 。18、【分析】本题主要考查积分不等式的证明，是一种新出现的考试题型，利用被积函数的不等式和分部积分运算加以证明。引入变限积分转化为函数等式或不等式是证明积分等式或不等式的常用的方法.【详解】令F(x) = f (x) - g(x)，由题设G(x) 0，x a , b，G(a) = G(b) = 0，.从而 ，由于 G(x) 0，x a , b，故有，即 . 因此 【详解】由旋转体体积计算公式得于是，依题意得 .两边对t求导得 将上式改写为 ，即 令，则有 当时，由. 两边积分得.从而方程的通解为为任意常数）。由已知条件，求得从而所求的解为或20、（1）等价于，故当时，的秩为2； 当时，的秩为3。（2）当时，的秩为2，的特征值为4，4，0，其特征向量为 则21、【详解】令。两边同时左乘，有 。 ，为正定矩阵且，两边再同时左乘，同理可证，向量组线性无关。22、【详解】区域D实际上是以为顶点的正方形区域，D的面积为.二维随机变量(X,Y)的联合概率密度（）设，.在区域D上，所以 . 当时，；当时，； 当时，. 则 于是 U的概率密度为 .设，.在区域D上，所以 . 当时，；当时，； 当时，. 则 于是 V的概率密度为 .（） ，显然，. .所以 .（）与的相关系数.23、【详解】设事件“考生不知道正确解法”，“考生知道正确解法，但因粗心而犯错”，“考生