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一、单调性 二、奇偶性 三、周期性 四、有界性,第三节 函数的几种特性,一、单调性,定义1.2 设函数y=f(x)在数集X(X可以是f(x)的定义域也可以是定义域的一部分).如果对于任意的 ,当 时，均有,则称函数y=f(x)在区间X上单调增加(或单调减少)的.,则称函数y=f(x)在区间X上严格单调增加(或严格单调减少).,如果对于区间X上任意两点 ，当 均有,严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；,改图P9图1.6,严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；,改图P9图1.7,例如，函数 内是严格单调增加的.,函数 内是严格单调减少的，在区间 上是严格单调增加的,而在区间 内则不是单调函数.,二、奇偶性,定义1.3 设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，即当 时，有 .,则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；,如果对于任意的 ，均有,如果对任意的 ,均有,就称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.,例1 讨论下列函数的奇偶性:,解,是奇函数,当,即不是奇函数,也不是偶函数,在常见的函数中，sin x是奇函数，cos x是偶函数.,当n为偶数时，函数 是偶函数;,当n为奇数时，函数 是奇函数.,定义1.4 设函数y=f (x), 其定义域为D,如果存在正常数 T,使得对于定义域内的任何x均有 f (x + T)=f (x),显然，若T是周期函数f(x)的周期，则kT也是f(x)的周期(k=1,2,3 )，通常我们说的周期函数的周期就是指最小周期.,三、周期性,成立，则称函数y=f (x)为周期函数，T为f (x)的周期.,例如，函数y=sin x及y=cos x都是以 为周期的周期函数；,函数y=tan x及y=cot x都是以 为周期的周期函数.,四、有界性,定义1.5 设函数y=f(x)在数集X上有定义,如果存在正数M，使得对于任意的 ，都有不等式,成立，则称f(x)在X上有界，并称M为f(x)在X上的一个界.,当函数y=f(x)在区间a,b上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y= 之间.,定义1.6 如果f(x)在X上不是有的界，称f(x)在X上无界.即如果对于任意一个给定的正数M,总存在 ,使得,如果M为f(x)在X上的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.,这里取=1. 函数y=sinx的图形位于直线y=1与y= 1之间.,例如，函数f(x)=sinx在 内是有界的. 这是因为对于任意的 ， 都有 成立，,应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化
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