数学建模论文-储油罐的变位识别与罐容表标定 (2).doc

储油罐的变位识别与罐容表标定摘要 本论文中，建立了椭圆柱体罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系模型。在建模和求解的过程中，采用机理分析和统计分析相结合的方法，不仅给出了所有问题的结果，还对结果进行了正确性和可靠性的评估。 问题一中，首先用“体积元素法”对纵向变位为的椭圆柱体进行了积分求解并给出了储油量与油位高度及纵向变位参数的解析表达式。接着用实验数据对该模型进行了修正，消除了油罐系统本身引起的误差。经过修正后的曲线和实验样点符合得相当好。最后，用mathematica软件编程绘出了值逐渐增大时关系曲线的变化趋势图，曲线大致向右下方平移，并给出了罐体变位后高度间隔为1cm的罐容表标定值，见第9页表一。问题二中，首先把实际油罐进行合理的简化，将它两边的球冠用等体积的圆柱体代替，这样一来，实际油罐便等效为圆柱体。因为圆柱体是椭圆柱体的特殊情形，所以我们直接用问题一中建立的模型给出了该圆柱体罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系模型。其中的影响同模型一，逐渐增大时关系曲线大致绕着某点顺时针旋转。但对关系曲线的影响要强于。 接着用“最小二乘法”的方法，建立确定变位参数的一般模型。通过计算机编程粗略计算求出的近似取值在区间2.1,2.3，的近似取值在区间0,1。再经过精细计算，求出的的最优值为2.12，的最优值为0。 由此可见，对的关系的影响占主导位置，的影响可以忽略不计。最终，给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，见第15页表二。 通过计算，我们给出问题二中理论曲线和实际散点的均偏差为=0.045871升，说明：当，时，我们的模型与实际情况符合的很好。尽管在曲线的边缘上有点误差，但作为近似是相当不错的。关键字 机理分析 统计分析 体积元素法 最小二乘法 罐容表标定一、问题重述 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。二、模型假设（1） 不考虑出进油管的厚度；（2） 储油罐的厚度均匀；（3） 罐体只发生纵向变位和横向变位，不考虑自身形变；（4） 实际情况中和的值比较小。 三、符号说明：油罐的储油量：罐内油位高度：体积积分的下限：体积积分的上限：纵向倾斜角度：横向偏转角度：柱体的长度4、 问题的分析与简化 根据题目的要求，我们在建模中需要给出一般椭圆柱体（特殊为圆柱体)罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系模型。为了求出储油量和油位高度之间满足的函数关系，我们可以利用微积分学中的“体积元素法”进行积分求解。如果积分式是简单的，我们可以直接套用积分公式，给出关于的精确解析式；否则，我们可以借助计算机编程实现复杂函数的积分，给出近似的数值解。 求出了之后，我们还要根据实际数据求出和的值。为此，我们可以利用统计学中“最小二乘法”求极值的方法，给出确定变位参数的一般模型。 我们采用的这种机理分析和统计分析相结合的方法，不仅可以给出所有问题的结果，还可以对结果进行正确性和可靠性的评估。5、 模型的建立与求解5.1问题一模型的建立（1） 椭圆罐体无变位情形 我们把椭圆球罐抽象成椭圆柱体，其底面为椭圆，并忽略它的厚度等次要因素。 如图5.1.1所示建立空间直角坐标系，其中坐标原点，点，点，点分别为图中矩形轴截面的左下顶点，右下顶点，左上顶点和右上顶点，油浮子的位置记为点，油位探针与椭圆柱体下表面的交点记为点，水面与矩形轴截面左边的交点记为点。 设椭圆柱体的长为，其底面的长半轴和短半轴分别为和，则椭圆柱体表面的方程为（） 图5.1.1 图5.1.2 下面我们考虑椭圆柱体无变位时（此时），储油量与罐内油位高度之间的关系，设储油量表示为罐内油位高度的函数关系式。如图5.1.2所示，我们在椭圆柱体中高为的地方取一个长方体的小体元，小体元的长为，宽为，高为。根据积分的概念，该小体元的体积为，又，设积分的上下限分别为，根据上述分析，我们得到.(5.1.1)其中， 利用积分公式，我们求得与的关系式为（2）罐体纵向变位情形 下面我们考虑椭圆柱体纵向变位时（此时，以x轴为基准，顺时针旋转为负值，逆时针旋转为正值）。因为椭圆柱体不再是水平放置的，有一定的倾斜，所以我们很难一次性给出关于的积分式，必须分段积分，此时求得储油量关于 的关系式也是分段函数。 根据油面所处的位置不同，我们把它分为三种情形考虑。 设油面的方程为(其中) 因为油面始终过点,将点的坐标代入油面方程，解出，即油面方程为.(5.1.2)1第一种情形考虑油面从过点一直变化到过点。将点的坐标和点的坐标分别代入(5.1.2)式，解出的两个临界值分别为和，介于两者之间，即(其中，)。图5.1.3 如图5.1.3所示，我们在椭圆柱体满足部分中高为的地方取一个长方体的体元，小体元的长为，宽为，高为。小体元的长即为小体元与油面交线的横坐标和小体元与椭圆柱体左端面交线的横坐标之差。其中,点满足油面方程，代入(5.1.2)式解出，那么(其中）根据积分的概念，该小体元的体积为，又，设积分的上下限分别为，根据上述分析，我们得到， .(5.1.3) 2第二种情形考虑油面从过点一直变化到过点。将点的坐标和点的坐标分别代入(5.1.1)式，解出的两个临界值分别为和，介于两者之间，即(其中，)。 图5.1.4如图5.1.4所示，我们在椭圆柱体中把满足部分分为和两部分，和的分界面过油面与椭圆柱体右端面的交线且垂直于图中的矩形截面。 其中 部分可以根据公式(5.1.1)求解，即 又，部分可以根据公式(5.1.3)求解，即又， 综合以上两部分，得到总储油量与油位高度关系式为.(5.1.4) 3第三种情形：考虑油面从过点一直变化到过点。将点的坐标和点的坐标分别代入(5.1.2)式，解出的两个临界值分别为和，介于两者之间，即(其中，)。 图5.1.4如图5.1.4所示，我们在椭圆柱体中把满足部分分为和两部分，和的分界面过点且垂直于图中的矩形截面。 其中 部分可以根据公式(5.1.1)求解，即 又，部分可以根据公式(5.1.3)求解，即又， 综合以上两部分，得到总储油量与油位高度关系式为.(5.1.4) 5.2 问题一的分析与求解(1) 模型一的误差分析与修正 我们利用模型一进行mathematica编程绘出储油量关于油位高度的函数曲线。并在该图中绘出实验数据的散点图，进行对照。 绘出无边位时和纵向变位的理论曲线图和实验散点图，分别如图5.2.1和图图5.2.2所示。 图5.2.1 无变位理论曲线和实验样点曲线 图5.2.2 纵向变位理论曲线和实 验样点曲线 通过观察，我们发现：理论曲线和实践散点图有一点点偏差。我们猜想这可能由于油位探针和进出油罐占了一定的容积引起的,属于系统误差。 下面，我们拟合了无变位情形和有变位情形误差关于的函数曲线，如图5.2.3和图5.2.4所示。通过观察，我们发现：无变位时误差随大致成线性关系变化；而有变位时误差随成非线性关系变化。因此，我们猜想：系统误差随着的变化而变化。 图5.2.3 无变位系统误差拟合函数与 图5.2.4 有变位系统误差拟合函数 的关系曲线 的关系曲线 最后，我们利用实验数据对原模型进行了修正，图5.2.5和图5.2.6分别为无变位和纵向变位修正后的结果。通过观察图形，我们发现：修正后的函数曲线和实验散点图拟合得很好。 图5.2.5无变位（修正后）理论曲线和实验 图5.2.6 纵向变位（修正后）理论 样点曲线对照图 和实验样点曲线对照图 （2） 罐体变位后对罐容表的影响 为了研究罐体变位后对罐容表的影响，我们利用原模型利用mathematicia编程，绘出了不同值时关于的函数曲线的变化趋势。通过观察图形,我们发现：随着的增大，函数曲线大致往右下方平移，说明罐容表中相同体积的油量对应的油位增加。 图4.2.7变位参数取不同值使曲线的变化趋势（3） 罐体变位后罐容表的标定 我们利用上述模型用mathematica编程求解，给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值，如表一所示。表一 罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值h/cmv/lh/cmv/lh/cmv/lh/cmv/l1.00 87.10 31.00 623.92 61.00 1763.26 91.00 3027.21 2.00 87.07 32.00 656.39 62.00 1805.05 92.00 3067.93 3.00 87.98 33.00 689.39 63.00 1846.97 93.00 3108.44 4.00 89.94 34.00 722.91 64.00 1888.99 94.00 3148.69 5.00 93.02 35.00 756.92 65.00 1931.12 95.00 3188.69 6.00 97.30 36.00 791.40 66.00 1973.34 96.00 3228.42 7.00 102.85 37.00 826.33 67.00 2015.65 97.00 3267.84 8.00 109.75 38.00 861.70 68.00 2058.02 98.00 3306.96 9.00 118.05 39.00 897.49 69.00 2100.46 99.00 3345.75 10.00 127.81 40.00 933.69 70.00 2142.94 100.00 3384.19 11.00 139.09 41.00 970.28 71.00 2185.46 101.00 3422.26 12.00 151.93 42.00 1007.24 72.00 2228.02 102.00 3459.93 13.00 166.40 43.00 1044.56 73.00 2270.59 103.00 3497.19 14.00 182.54 44.00 1082.23 74.00 2313.16 104.00 3534.01 15.00 200.39 45.00 1120.23 75.00 2355.74 105.00 3570.36 16.00 219.78 46.00 1158.55 76.00 2398.30 106.00 3606.22 17.00 240.45 47.00 1197.17 77.00 2440.84 107.00 3641.56 18.00 262.29 48.00 1236.09 78.00 2483.34 108.00 3676.34 19.00 285.19 49.00 1275.29 79.00 2525.79 109.00 3710.53 20.00 309.09 50.00 1314.76 80.00 2568.18 110.00 3744.09 21.00 333.92 51.00 1354.48 81.00 2610.51 111.00 3776.98 22.00 359.62 52.00 1394.44 82.00 2652.75 112.00 3809.15 23.00 386.15 53.00 1434.64 83.00 2694.90 113.00 3840.54 24.00 413.47 54.00 1475.06 84.00 2736.94 114.00 3871.09 25.00 441.54 55.00 1515.69 85.00 2778.86 115.00 3900.72 26.00 470.32 56.00 1556.52 86.00 2820.66 116.00 3929.34 27.00 499.79 57.00 1597.54 87.00 2862.31 117.00 3956.80 28.00 529.91 58.00 1638.73 88.00 2903.80 29.00 560.65 59.00 1680.09 89.00 2945.12 30.00 592.00 60.00 1721.60 90.00 2986.26 5.3问题二模型的建立（1）实际储油罐的简化 我们在上面用模型一很好地解决了问题一,说明模型一的建立是很成功。但问题二中，储油罐两边多了两个球冠，这就使得我们用体积分公式很难求出一般的解析解，用编程的方法给出数值解也是相当麻烦的。因此，我们需要对实际的储油罐做出如下的合理简化。 图5.3.1 如图5.3.1所示以我们利用“等体积法”，将储油罐两边的球冠转转化为与之体积相等的两个圆柱体。设球冠的体积为，与之等体积的圆柱体的体积为，半径为，长为，则有 以等效后的圆柱体为基准建立空间直角坐标系，其中点，点，点，点和点，点，点，点分别为等效前和等效后圆柱体矩形轴截面的左下顶点，右下顶点，左上顶点和右上顶点，油浮子的位置记为点，油位探针与椭圆柱体下表面的交点记为点，水面与等效后矩形轴截面左边的交点记为点。 设等效前圆柱体的长为，其底面的半径为，椭圆柱体表面的方程为（） 那么等效后圆柱体的长为，则,，。（2） 横向偏转角度对油位高度的影响 图5.3.2如图5.3.2所示，定性地分析，我们发现：1当，油浮子显示的油位高度等于油位的实际高度；2当，油浮子显示的油位高度大于油位的实际高度； 下面我们定量分析横向偏转角度对油位高度的影响。设为油浮子显示的油位高度，为罐内油位的实际高度，则根据图形的几何关系，有又，（3）纵向倾斜角度对油位高度的影响 如图5.3.1所示，定性地分析，我们发现： 时油面与圆柱体左端面交线的高度小于时油面与圆柱体左端面交线的高度。 下面我们定量分析横向偏转角度对油面高度的影响。 油面与圆柱体左端面交线的高度即为油位方程在轴上的截距，记为。 根据模型一中与的关系式，代入的具体表达式，我们有.(5.3.1)(4) 建立罐内储油量与油位高度及变位参数（和）之间的一般关系模型在问题一中，我们建立了椭圆柱体储油量与油位高度及变位参数之间的一般关系模型。而问题二中经过简化后的圆柱体是椭圆柱体的特殊情形，即。而变位参数和的影响可以折算到油面在轴的截距中。这样一来，我们只要把模型一中的和都改为，用（5.3.1）式代替，就可以直接利用模型一给出圆柱罐内储油量与油位高度及变位参数（和）之间的一般关系给出问题二的模型结果。1根据模型一的第一种情形，我们有 (其中，) (其中，)2根据模型一的第二种情形，我们有 (其中，) (其中,)(其中，) 3根据模型一的第三种情形，我们有 (其中，)。 （其中，)(其中，) 综合以上两部分，得到总储油量与油位高度关系式为注：上述关系式中。（5）最小二乘法确定变位参数和 在上面，我们求出了罐内储油量与油位高度及变位参数和之间的一般关系式，记为。而式子中含有变位参数和，我们需要根据实际数据求出和的值。下面，我们利用统计方法学中的最小二乘法思想确定确定变位参数和。 设为第次出油量，为第次出油后油浮子显示的高度。我们从实际测量的数据中取出n个样本点(其中)。其中应该等于油位高度为时的实际油量与油位高度为时的实际油量的差值。 为用上述模型求出的油量的理论值，那么 -便为从油位高度为变位时的理论出油量。 我们用最小二乘法的思想，给出各个样本点理论出油量与实际出油量的差值平方的总和，即 令 解上述方程组，可得和的解，它使得关系式和实际数据文和得最好。5.4问题二的分析与求解（1） 求解和的值 由于关于,和的函数解析式比较复杂，我们很难理论上通过求极值的方法求出和的值。因此，我们利用mathematicia编程绘出关于与的散点趋势图，定出和的可行变化区间，从而利用下面算法求解具体的值。图5.4.1关于与的散点趋势图，1和粗略求解算法第一步 出油次数，为第次出油量，为出油后显示的油高度。第二步 将与每隔取一组数值，共组数据。第三步 将带入模型中，得到在下的关于的关系。第四步 求出油高分别为和的油量体积差。利用最小二乘法思想，计算。第五步 求出的最小值，输出使最小时相应的。2和精细求解算法第一步 出油次数，为第次出油量，为出油后显示的油高度。第二步 在和粗略解的附近每隔取一组数值，共组数据。第三步 将带入模型中，得到在下的关于的关系。第四步 求出油高分别为和的油量体积差。第五步 利用最小二乘法思想，计算，与相应的构成空间坐标点。第六步 将取定值，拟合，求出拟和函数一阶导数为零、二阶导数大于零时的值，得到平面坐标。第七步 拟合，求出拟合函数一阶导数为零、二阶导数大于零时的值与相应的。第八步 将取定值，拟合，求出拟合函数一阶导数为零、二阶导数大于零时的值，得到平面坐标。第九步 拟合，求出拟合函数一阶导数为零、二阶导数大于零时的值与相应的。第十步输出和。我们利用通过计算机编程粗略计算求出的近似取值在区间2.1,2.3，的近似取值在区间0,1。再经过精细计算，求出的的最优值为2.12，的最优值为0。绘出关于（的偏差值）的散点图和关于（的偏差值）的散点图如5.4.2和5.4.3所示。 图5.4.2关于的散点图 图5.4.3关于的散点图(2) 变位参数对关系的影响 我们用mathematica编程求出时关系曲线随的变化趋势和时关系曲线随的变化趋势。 通过观察图形，我们发现：关系曲线随的增大大致向左下方平移；关系曲线随的增大顺时针旋转。它们都使得相同容积的油量对应的油位高度变大。 其中，对关系的影响比强。 图5.4.4 时和的关系曲线随 图5.4.5 时和的关系 曲的变化趋势 线随的变化趋势（3）罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值 利用上面解出的和的值，我们给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值，如表二所示。 表二 罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值h/cm102030405060708090100v/l414.55 1157.26 2362.55 3913.23 5707.89 7696.75 9845.53 12127.84 14521.93 17009.15 h/cm110120130140150160170180190200v/l19572.95 22198.25 24871.05 27578.13 30306.73 33044.44 35778.94 38497.91 41188.76 43838.53 h/cm210220230240250260270280290300v/l46433.62 48959.52 5