概率论与数理统计期末必备复习资料.ppt

事件间的关系 包含关系：事件A发生必然导致B发生，记为 相等关系： ，记为A=B。 积事件：事件A与B同时发生，记为AB。 和事件：事件A或B至少有一个发生，记为 差事件：事件A发生而B不发生，记为A-B。 互斥事件：事件A、B不能同时发生，即 ，又称A、B为互不相容事件。 逆事件：“A不发生”这一事件称为A的逆事件，记为 ，A与 又称为对立事件。,事件间的关系与事件的运算,事件的运算律 交换律： 结合律： 分配律： 对偶律（De Morgan德摩根律）： 减法：,概率：做n次重复试验，事件A发生的次数记为 ，当n很大时，若频率 稳定在常数P附近，则称P为随机事件A发生的概率，记作P(A)=P。 概率的公理化定义：设E是随机试验，S是样本空间，对E的每个随机事件A，赋予一个实数P(A)，若它满足： 非负性： 规范性： ，S为样本空间（必然事件） 可列可加性：若事件 中 则 则称P(A)为事件A的发生概率。,概率的性质,有限可加性：有限个两两互斥的事件 则 是A的对立事件，则 则 一 ，当A，B互斥即 时 推广：,预备知识：排列、组合,分类计数原理(加法原理)：设完成一件事有k类方法，每类分别有 种方法，则完成这件事情共有 种方法. 分步计数原理(乘法原理)：设完成一件事有k个步骤，第一步有 种方法，,第k步有 种方法，则完成这件事情共有 种方法. 排列：从n个不同元素中取出m个元素，按一定次序排成一列. 排列数：从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数记为 注：,等可能概型（古典概型）,组合：从n个不同元素中取出m个元素并成一组(与顺序无关). 组合数：从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，记为,等可能概型（古典概型）,定义：具有以下性质的随机试验称为等可能概型 试验的样本空间的元素只有有限个 试验中每个基本事件发生的可能性相同 等可能概型中事件概率的计算公式： n为随机试验的总的结果数，即样本点的总数，k为事件A包含的结果数。,定义：事件A已发生的条件下事件B发生的概率，称为条件概率，记为P(B|A)。 例 将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正面的情况，设A=至少有一次为正面H，B=两次掷出同一面，求P(B|A) 解：样本空间S=HH,HT,TH,TT,A=HH,HT,TH, B=HH,TT。则可得： P(B|A)1/3 条件概率的计算公式：,条件概率,乘法定理：设P(A)0，则有P(AB)=P(B|A)P(A) 推广：P(AB)0，则有P(ABC)=P(C|AB)P(AB) = P(C|AB) P(B|A)P(A) 设 为n个事件 ，且,全概率公式,划分：设S为试验E的样本空间， 为E的一组事件，若 则称 为样本空间S的一个划分. 例 E：掷骰子观察点数 是S的一个划分 不是S的一个划分,全概率公式,定理：设随机试验E的样本空间为S，A为E的事件. 为S的一个划分，且 则 ，称之为全概率公式。 注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原因 的作用下事件A发生概率的方法. （由因得果）,贝叶斯公式（由果溯因）,设E的样本空间为S，A为E的事件. 为S的一个划分，且 ，则 为贝叶斯（Bayes）公式. 称 为先验概率； 称 为后验概率.,条件概率,条件概率小结,缩减样本空间,定义式,乘法公式,全概率公式,贝叶斯公式,独立性,独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响，B发生也对A没有影响，则称两事件相互独立.即P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B) 例 抛甲，乙两枚硬币，A=甲出现正面H，B=乙出现正面H，问A，B同时发生的概率. 定理 四对事件 中有一对相互独立，则另外三对也相互独立. 独立与互斥的区别： A，B相互独立：P(AB)=P(A)P(B)； A，B互斥：P(AB)=0。,多个事件的独立,定义 随机试验的结果可以用一个实值变量表示，这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表示。 中心问题：将试验结果数量化 随机变量分为离散型和连续型： 离散型：X的取值是有限个或可列无限个。 连续型：X的取值是连续的。,X=f(e)为S上的单值函数，X为实数,分布律,称为离散型随机变量X的分布律，分布律可用列表的方式直观的表示出来,X,分布律（概率分布）,1.两点分布，又称为(0-1)分布,(0-1)分布的分布律为 也可以写为 对随机实验，若样本空间只包括两个元素，即 ，则一定能在S上定义一个服从(0-1)分布的随机变量，令 例 抛硬币一次，定义随机变量X为出现正面的次数，则,三种重要的离散型随机变量,2.二项分布,随机试验E只有两个可能结果：A和 ，则称E为伯努利试验。设P(A)=p(0p1),则 将伯努利试验独立地重复进行n次，称为n重伯努利试验。 X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，X所有可能取值k=0,1,2,n。求PX=k PX=k 记q=1-p， 随机变量X服从参数为n,p的二项分布，记为 当n=1时，即为(0-1)分布。,若随机变量X的概率分布律为 称X服从参数为的泊松分布，记,3.泊松分布(Poisson分布),Poisson定理 设 是一个常数，n是任意正整数，设 ， 则对于任一固定的非负整数k，有,当 时近似公式近似效果更佳。,定义：设X为一个随机变量，x是任意实数，函数 称为随机变量X的概率分布函数，简称 分布函数。 由分布函数的定义，有,分布函数,注: 分布函数F(x)在x处的函数值表示x落在区间 上的概率。,(1) (2)F(x)是一个不减函数 (3)对于离散型随机变量，若分布律为 则其分布函数,分布函数,定义：对于随机变量X的分布函数 若存在 非负的函数 使对于任意实数 有：,其中 称为X的概率密度函数，简称概率密度。,则称X为连续型随机变量，,概率密度,1.均匀分布,定义：设连续型随机变量X具有概率密度函数 则称X在区间(a,b)上服从均匀分布。记为 注：X落在(a,b)上任一子区间内的概率只依赖于子区间的长度，而与位置无关。,三种重要的连续型随机变量,均匀分布的分布函数,定义：连续型随机变量X的概率密度为 称X服从参数为 的指数分布，记为 指数分布的分布函数,2.指数分布,定义：设连续型随机变量X的概率密度为 其中 为常数，则称X服从参数为 的正态分布（也称为Gauss分布），记为,三种重要的连续型随机变量,3.正态分布,f(x)图形的性质： 关于 对称 结论： 当 时，取得最大值 固定，改变 ，f(x)的图形不变，沿x轴平移 固定，改变 ，由最大值 知， 越小，图形越尖，X落在 附近的概率越大。 时， ，即曲线以X轴为渐近线。 分布函数F(x),标准正态分布 时，称X服从标准正态分布， 概率密度函数 分布函数 结论： 的函数值见第382页标准正态分布表 例 ，求,正态分布转变为标准正态分布 引理 若 ，则 结论： ，则它的分布函数，可写成： 正态分布的问题都可以通过线性变换转化为标准正态分布，然后查书中第382页标准正态分布表得解 例 ，求,随机变量的函数的分布,离散型 离散型随机变量的函数分布律的求法： 找出Y=g(X)的所有可能取值 找出每个值对应的X取值，将对应概率相加 例 设随机变量X具有分布律 求 的分布律。,问题提出：已知随机变量X的概率分布，且已知 Y=g(X)， 求Y的概率分布。,关键是找出Y的等价事件。,连续型 连续型随机变量的函数分布的求法： 求Y=g(X)的取值范围 分段讨论 在取值范围外的y， 在取值范围内的y，,1.期望的定义、定理、性质及求解 2.方差的定义、性质及求解 3.六个重要分布的数学期望和方差 4.切比雪夫不等式,第四章 随机变量的数字特征,定义： 定义：,数学期望简称期望，又称均值。,数学期望的定义,定理,E(X)的性质,定义：,方差,对于离散型随机变量X，,对于连续型随机变量X，,此外，利用数学期望的性质，可得方差得计算公式：,方差的性质,6种常见分布的期望与方差,数学期望 方差,分布律或密度函数,分布,正态分布,指数分布,均匀分布U(a,b),泊松分布,np(1-p),np,二项分布b(n,p),p(1-p),p,01分布,定理 (切比雪夫不等式) 设X是随机变量，若D(X)存在，则对任何 0，有,切比雪夫不等式的等价形式,注： 1. 切比雪夫不等式可用来估计不是服从正态分布的随机变量落在E(X)附近的概率。 2. 切比雪夫不等式的主要作用是进行概率论的理论研究。,1.样本的定义（独立同分布） 2.统计量的定义和判别 3.统计学三大分布的定义和图形轮廓 4.三大分布的分位点定义,第六章 样本及抽样分布,样本,总体：试验中全部可能的观察值（研究对象的全体，如一批灯泡），一个总体对应于一个随机变量X。 个体：每个可能观察值称为个体（组成总体的每个元素，如某个灯泡） 抽样：从总体X中抽取有限个个体对总体进行观察的取值过程。 随机样本：随机抽取的n个个体的集合(X1,X2,Xn), n为样本容量。 简单随机样本：满足以下两个条件的随机样本(X1,X2,Xn) 1. 每个Xi与X同分布 2. X1,X2,Xn是相互独立的随机变量 说明：后面提到的样本均指简单随机样本。,统计量：设 是总体X的样本，则函数 如果不包含任何未知参数则称为样本 的一个统计量。,统计量,简言之，样本的不含任何未知参数的函数。,常用的统计量,样本平均值： 样本方差： 样本均方差： 样本k阶(原点)矩： 样本k阶中心矩：,统计学三大分布,例如：,1.矩估计法（三步法） 2.最大似然估计法（三步法） 3.估计量三大评选标准的定义及证明 （无偏性、有效性、相合性） 4.单个正态总体均值和方差的区间估计,第七章 参数估计,矩估计法,最大似然估计的求法,写出似然函数 求 ，使得 为 的最大值，求法如下： 求使得方程 又 在同一 处取得极值，因此， 的最大似然估计值可从方程 中求得 称 为似然方程,1.单参数,2.双参数,似然函数 似然方程,最大似然估计法,估计量的评选标准,对总体的未知参数可用不同方法求得不同的估计量，如何评价好坏？ 通常用三条标准检验：无偏性，有效性，相合性 无偏性,有效性,相合性,正态总体均值与方差的区间估计,Thank You!,1.假设检验的定义 2.假设检验的三步法 3.单个正态总体均值和方差的假设检验统计 量和拒绝域,第八章 假设检验,问题：设X ，已知，未知。给定 ，问 ？,假设,称为原假设(零假设)， 称为备择假设(对立假设)。,通过某种方式确定常数k。若 ，则接受 ，若 ，则拒绝 (接受 )。,犯两类错误的概率： 若 为真而被拒绝，我们称为犯第一类错误(又称犯“弃真”错误，其概率记为。一般， 0.1