概率论与数理统计第17讲.ppt

1,概率论与数理统计 第17讲,本文件可从网址 上下载,2,协方差的计算,在已知两个随机变量X和Y的联合分布的情况下怎样计算它们的协方差cov(X,Y)呢, cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)= =EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y)= =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)= =E(XY)-E(X)E(Y),3,cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 即相乘的均值减去均值的相乘. 其中E(X)和E(Y)是通过边缘分布计算的, 因此关键是如何计算E(XY).,4,对于离散型随机变量, 假设X,Y的概率函数为P(X=xi,Y=yj)=pij, (i,j=1,2,.),则,5,对于连续型随机变量, 假设X,Y的联合概率密度为f(x,y), 则,6,例 假设X,Y的联合概率函数如下表所示,7,8,而X与Y的边缘分布及数学期望为:,9,10,在研究任何连续型随机变量的概率密度函数f(x)的时候, 通常可将其表示为f(x)=kg(x)的形式, 其中g(x)表示了f(x)的形状, 而系数k的作用则是为了保证f(x)的性质,11,12,因此我们在研究不同类型的连续型随机变量时, 焦点放在它的形状函数g(x)上,x,g(x),面积为s,x,f(x)=g(x)/s,面积为1,13,例如, 假如我们知道了一随机变量的概率密度的形状函数为g(x)=e-lx,(x0, l0), 我们就已经知道它是服从指数分布了, 则f(x)=kg(x), 而k不难求得为,14,G-分布,所谓G-分布的概率密度函数的形状是这样的, 它在x0时取0值, 而在x0时为x的某次方乘上指数函数e-lx, 即它的形状函数g(x)=xae-lx,15,g(x)=xae-lx, 但通常令其中的参数a=r-1, 即r=a+1, 即将g(x)写成g(x)=xr-1e-lx的形式, 这虽然只是一个人为的规定, 但是有一个好处就是, 后面我们将证明, G-分布的数学期望为l-1r, 方差为l-2r, 且两个l参数相同的都服从G-分布的相互独立的随机变量的和也服从G-分布, 和的分布中的r参数正好是两个随机变量的r参数之和.,16,因此, 如随机变量X服从G-分布, 则它的概率密度函数为f(x)= kxr-1e-lx, (x0)的形式, 下面求常数因子k.,17,18,其中,19,定义 如果连续型随机变量X具有概率密度,20,G-函数的一个重要性质是G(r+1)=rG(r),21,22,G-分布的数学期望,23,24,G-分布的方差,25,26,当r=1时,这是指数分布,27,当r为正整数时,28,当r=n/2(n是正整数), l=1/2时,这是具有n个自由度的2-分布(简记作2(n), 它是数理统计中最重要的几个常用统计量的分布之一. 如果Xc2(n), 则E(X)=n, D(X)=2n.,29,定理 如果XG(l,r1), YG(l,r2)则X+YG(l,r1+r2) 证 只要证X+Y的概率密度具有,30,31,推论,如果X1,X2,.,Xn相互独立, 且XiG(l,ri), (i=1,2,.,n), 则 X1+X2+.+XnG(l, r1+r2+.+rn),32,推论(需要记住),如果X1,X2,.,Xm相互独立, 且Xic2(ni), (i=1,2,.,m), 则 X1+X2+.+Xmc2(n1+n2+.+nm),33,正态分布 正态分布也叫高斯分布, 它取一切实数值为可能值, 它的形状是指数上的一个二次多项式, 即正态分布的概率密度函数是形如,34,但最常见的是将指数项进行整理,35,36,也就是说, f(x)总能整理成,37,38,这里用到普阿松积分公式,39,普阿松积分公式的证明:,40,定义 如果连续型随机变量X的概率密度为,其中s,m为常数, 并且s0, 则称X服从正态分布, 简记作XN(m,s2).,41,可以验证E(X)=m, D(X)=s2 特别地, 当m=0, s=1时, 称其为标准正态分布, 其概率密度记为j(x), 分布函数记为(x), 这时XN(0,1).,42,验证E(X)=m,43,44,验证D(X)=s2,45,46,j(x)的图形,47,48,j(x)除一般概率密度的性质外, 还有下列性质 (1) j(x)有各阶导数 (2) j(-x)=j(x), 偶函数 (3) 在(,0)内严格上升,在(0,)严格下降.在x=0 处达到最大值:,49,(4) 在x=1处有两个拐点; (5) x轴是j(x)的水平渐近线,50,一般正态分布与标准正态分布的关系,51,52,所以,对标准正态分布的分布函数F(x)的值, 可查标准正态分布表(附表3).,53,标准正态分布函数表,如果XN(0,1), 则对于大于零的实数x, F(x)的值可以由附表3直接查到. 而对于小于零的x则可通过对称性来求得.,54,55,例 XN(0,1), 求P(X1.96), P(X-1.96), P(|X|1.96), P(-1X2), P(X5.9).,解 P(X1.96)=0.975=F(1.96) P(X-1.96)=P(X1.96)=1-P(X1.96) =1-0.975=0.025=1-F(1.96),56,P(|X|1.96)=P(-1.96X1.96) =F(1.96)-F(-1.96)=2F(1.96)-1=0.95 P(-1X2)=F(2)-F(-1)=F(2)-1-F(1) =0.81855 P(X5.9)=F(5.9)=1,57,概括起来, 如果XN(0,1), 则,58,例 XN(8,0.52), 求P(|X-8|1)及P(X10) 解 因为XN(8,0.52), 所以(X-8)/0.5N(0,1),59,例 XN(m,s2), P(X-5)=0.045, P(X3)=0.618, 求m及s,60,61,例6 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内, 调节器的温度定在dC, 液体的温度X(以C计)是一个随机变量, 且 XN(d, 0.52) (1) 若d=90 C, 求X小于89 C的概率; (2) 若要求保