《不等关系》习题课课件(北师大版必修5).ppt

11 不等关系 12 比较大小,1.不等式与等式之间主要有哪些异同？ 不等式与等式是生活、生产实践中最常见的关系式，其相异的性质主要在与数相乘时，不等式两边乘(除以)的数的符号不同时，结论不同；而等式则不然等式与不等式的性质对比如下表：,2.不等式的证明或比较实数大小有哪些方法及注意事项呢？ 证明一个不等式和比较实数的大小一样，根据题目的特点可以有不同的证明方法 (1)作差法和作商法是比较实数大小和证明不等式的重要方法，但是它们又有自己的适用范围，对于不同的问题应当选择不同的方法进行解决： 一般的实数大小的比较都可以采用作差法，但是我们要考虑作差后与0的比较，通常要进行因式分解，配方或者其他变形操作，所以，作差后必须容易变形到能看出与0的大小关系,(2)在证明不等式时还可以利用已经证明的结论，或者利用不等式的性质对不等式进行变形，使不等式变成简单易于比较大小的形式，再比较大小得出结论，需要注意的是，有些结论的递推是双向的，而有些是单向的，例如，不等式性质中的对称性就是双向的，而传递性就是单向的，在不等式两边同乘一个数或式子的时候，必须先判断要乘的数或式子的符号，决定相乘后是否改变符号 (3)有些不容易从正面证明的不等式还可以采用反证法进行证明，具体可以根据课本对性质4的推论3的证明方法和步骤，它可以把难以从正面说明的问题转化为其反面进行说明.,例1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假： (1)若ab，则acbc； (2)若ab，则ac2bc2； (3)若aabb2； (4)若ab0，则 (5)若ab0，则,解析：(1)因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题； (2)因为c20，所以只有c0时才能正确c0时，ac2bc2，所以是假命题； 变式：若ac2bc2，则ab，此命题是真命题； (3)aab；ab2，命题是真命题；,变式训练1 如果ab，则下列各式正确的是( ) Aalgxlgxb(x0) Bax2bx2 Ca2b2 Da2xb2x,解析：对于A：当x0时，lgxR，当lgx0时，algxblgx(x0)不成立，故应排除A； 对于B：xR，当x0时，ax2bx2， ax2bx2不成立，故应排除B； 对于C：a2b2(ab)(ab)，又由ab可知ab0，但是ab的符号是不确定的，因此a2b2不成立，故应排除C； 对于D：由指数函数的性质可知，2x0， 又ab，a2xb2x成立，故选择D. 答案：D,实数(或式)比较大小的依据是abab0；abab0；a0，b0时， 1ab) 方法步骤是作差(商)变形判断大于或小于零(大于1或小于1)关键是变形，变形的目的在于便于判断正负常见的变形有因式分解、配方等,例2 已知x1，比较x36x与x26的大小 解析：(x36x)(x26)x3x26x6 x2(x1)6(x1)(x1)(x26)， x1，(x1)(x26)0，x36xx26.,变式训练2 设mR，xR，比较x2x1与2m22mx的大小,例3 比较aabb与abba(a、b为不相等的正数)的大小,变式训练3 若m0，比较mm与2m的大小,例4 已知a0，试比较a与 的大小,变式训练4 已知a，b均为正数，nN*，比较(ab)(anbn)与2(an1bn1)的大小 解析：(ab)(anbn)2(an1bn1) an1abnanbbn12an12bn1 abnanban1bn1 a(bnan)b(anbn) (ab)(bnan)， a、bR，nN*，且n1， 当ab0时，ab0，bnan. (ab)(bnan)0.,当ba0时，aban. (ab)(bnan)0时，ab0. 所以(ab)(bnan)0. 综上所述，(ab)(anbn)2(an1bn1)0. 即(ab)(anbn)2(an1bn1),例5 (一题多解)求证： ab. 分析：本题可以用比较法证明；也可以用不等式性质得到证明,变式训练5 已知ab，cbd. 证明：证法1：由ab知ab0，由c0， (ac)(bd)(ab)(dc)0， acbd. 证法2：cd. 又ab，a(c)b(d)，即acbd.,例6 求下面题目中 的取值范围 (1)m3；(2)m2；(3)3m2.,答案：,例7 设f(x)ax2bx且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围 分析：本题是关于x的一元二次函数，可以利用换元法来求解在求解时一定要注意已知条件中a、b的关系，准确把握a、b的取值范围，否则容易出错下面我们再用一种新的方法待定系数法来求解,f(2)3f(1)f(1) 1f(1)2,2f(1)4， 53f(1)f(1)10，故5f(2)10.,例8 甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，则 ( ) A甲先到教室 B乙先到教室 C两人同时到教室 D谁先到教室不确定 分析：用路程速度时间，求甲、乙两人所用的时间，再用比较法求解,答案：