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2019/7/19 10:18,性质1：设群G中元a的阶为n。则,性质2：设群G中元a的阶为无限。则,一：元素阶的性质,性质3：设群G中元a的阶为n。则ak的阶,2019/7/19 10:18,推论2：设群G中元a的阶为n。则ak的阶为n 的充分必要条件是(n,k)=1。,推论3：设群G中元a的阶为n。则a的逆元 a-1=an-1，且a-1阶也为n。,推论1：设群G中元a的阶为st，则as的阶为t， 其中 s, t 均为正整数。,2019/7/19 10:18,在群中，若,，,，则当,且,时，,证明：,于是,若,性质4,2019/7/19 10:18,补充： 在群G中，若a的阶是m，b的阶是n，ab=ba ，则 1.若=e时，ab的阶是m,n,其中 m,n是m和n的最小公倍数; 2. |ab| 整除 m,n,例1：模24 的剩余类加群中每个元的逆元及其阶。,2019/7/19 10:18,性质2,二、循环置换的逆元和阶,性质1 设a，b是群的两个元，则 (ab)-1=b-1a-1 。,性质3 k循环置换的阶为k.,证明：设 是一个k-循环置换。则,2019/7/19 10:18,性质4 两个不相连的循环置换是可以交换的.,证明：设 和 是有限集合A上的两个不相连的循环置换。,任取A中元k，考虑k在下面循环置换乘积下的象,第1种情况：k等于某个i，不妨设i1 。,第2种情况：k等于某个j，不妨设j1 。,第3种情况：k即不等于某个j，也不等于某个i。,2019/7/19 10:18,性质5(鲁菲尼定理) 不相连的循环置换乘积 的阶为循环置换阶的最小公倍数.,例：求(1234)(56789 10)的阶。 (4,6)=12,2019/7/19 10:18,再看习题 给出下列6元置换：,求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶,（4）,2019/7/19 10:18,1：求模24剩余类加群中每一个元的逆元和阶。,解答作业,2：设G是全体n阶可逆方阵集合，设N是一个可逆n阶方阵。设G上带有如下代数运算 ：任取方阵A ，B。令,试用定义法和同态法证明G对于上述运算构成群。,2019/7/19 10:18,3：在非零复数集合C*中规定下面两个关系。,试证明R1，R2是等价关系，分别给出相应的分类，并且给出一个全体代表团。,4：设,那么，,不可能同构。,2019/7/19 10:18,5：试分别列举满足下面条件的关系。 (1)：满足对称律推移律，不满足反射律； (2)：
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