多体问题和近似方法.ppt

第四章,多体问题与近似方法,$4-1 二体问题和多体问题,一、二体问题 1、什么是二体问题： 研究的体系含二个粒子。,2、两粒子体系的定态薛定谔方程为,（1）,3、质心坐标和相对坐标。,设：第一个粒子的质量为m1，坐标为,第二个粒子的质量为m2，坐标为,(坐标系略),根据质心坐标定义：,分量表示为,（2）,质心坐标为：,所以分量,（3）,引入相对坐标,定义：,其中,转换坐标,和,到,和,（从（2）和（3）出发）,同理且对称。,同理有,（4）,（5）,（4）和（5）式代入（1）有,（6）,（7）,方程（7）可以用变量分离求解,(8),(8) 代入（7）并乘以,（9）,从（9）式即得：,（10）,平动,（11）,相对运动,二 多体问题,1、什么是多体？两个以上质点的体系。数学上无准确解。,2、多体体系的波函数。,3、,的意义：,在时刻t，第一个粒子在q1，第一个粒子在q2， 第n个粒子在qn的几率。,4、多体体系的薛定谔方程,5、 由于数学上无法对多体体系的薛定谔方程进行求， 必须引出用近似方法进行解决问题。（在下一节将作详细介绍）,$4-2 全同性原理 一 全同粒子和全同粒子体系 1、全同粒子：质量、电荷、自旋等一切固有性质都相同的粒子。 2、全同粒子体系：多个全同粒子构成的体系。,二 全同粒子体系哈密顿算符的特点,1、交换算符（,）,2、全同粒子体系的哈密顿算符,在,的作用下不变,3、,和,之间的数学关系,（对易）,(全同粒子体系的哈密顿算符对于任何一对粒子的坐标互换是不变的),三 全同粒子体系波函数的特点,1、,和,都是体系的可能状态,用,作用二边,结论得证。,（为什么？）,2、全同性原理： 全同粒子体系粒子的任意两粒子的互换对换不改变体系的状态。 即：,和,表示同一态。,四、对称波函数和反对称波函数,因为,（1）,那么：,取值如何？,用,作用（1）式两边,（2）,对称波函数,反对称波函数,五 Pauli 原理 微观粒子： 玻色子 自旋量子数为整数 对称波函数 费米子 自旋量子数为半整数 反对称波函数,六、Slater 行列式,在单电子模型下，N个电子的波函数用一个行列式表示。,七、有关slater 行列式的计算。 （一）H2的矩阵元计算。,1、Hamiltonian,2、计算能量。,可分别计算：,上式可见，四项中，后两项为零。（正交性）,同理，,因为,以自旋轨道：,以空间轨道：,计算的一般推导,库仑积分,交换积分,$4-3 定态微扰理论,微扰理论的基本思想,1、基本思想,（1）真实体系,（1）,（2）微扰思想,（2）,分为二部分 且,例,（3）,可以求解（已知）,（4）从,出发结合,（微扰项）近似的得到,和,2、基本数学关系式。,（零级） （7-1）,（一级） （7-2）,（二级） （7-3）,二 非简并情况下的微扰理论。（即E为非简并的）,1）零级微扰,2）一级微扰,3) 二级微扰能量,计算例子见 WORD 文档 4,三、简并情况下的微扰理论,计算例子见 WORD 文档 4,$4-5 变分法,变分原理,给定一个体系的哈密顿算符,，如果,是任意一个合格条件的函数，则有,（E0为基态能量，,未归一化）,或,（,归一化）,二 变分原理的证明,设体系,的解为,正交归一的完