大数定律与中心极限定理.ppt

5.1,5.4 大数定律与中心极限定理,一、依概率收敛,定义,则称随机变量序列,是一列随机变量,设,恒有,如果对任何,依概率收敛到X,记作,或,恒有,对任何,恒有,对任何,二、大数定律,频率的稳定性:,在一次试验中,但若进行大量的重复试验,事件,可能发生,也可能不发生,则事件A发生的频率:,次试验中,发生的次数,试验的总次数,就与一常数 靠近,且随着试验次数 的增大,频率,逐渐地稳定在常数 附近.,设在n重贝努利试验中，,事件A发生的次数为X,则事件A在n次试验中,发生的频率为,X与,都是随机变量.,随着试验次数的增加，,事件A发生的频率,逐渐稳定在,即,即,即,定理,（贝努利大数定律）,常数 附近.,定理,设随机变量序列,（切比雪夫大数定律）,两两不相关,均存在，,存在与n无关的常数C,使得,有,则对任何,它们的,数学期望,与方差,且方差有界，,即,说明:,的算术平均值为,个随机变量,也是随机变量,在定理的条件下,对任,即,这表明,在定理的条件下,有,对任何,只要n充分大,尽管n个随机变量各有,但其算术平均的取值,较密集地集中在,其数学期望附近.,各的分布,的随机变量序列,说明:,概率意义下,故大量随机变量的平均值,几乎不再是,同分布,推论,(辛钦大数定律),设,为独立,存在,有,则对任何,即,在定理的条件下,当n充分大时,的平均值,随机变量,在,其数学期望.,随机变量.,独立、,分布的,会充分接近,同,三、中心极限定理,定理,设随机变量序列,有,(独立同分布,相互独立,同分布,且数学期望和方差,都存在:,则对一切 ,因此，,当随机变量序列,满足定理,的条件时，,上述等式成立，,故当n充分大时，,可用,近似计算有关概率.,中心极限定理),由极限,当n充分大时,有,当随机变量序列,满足定理,的条件时,无论,只要它们,(2)服从同样的分布;,(3)期望和方差都存在;,则当n充分大时,的有关概率.,服从什么分布,都可以利用,来计算随机变量,(1) 相互独立;,(4)方差不等于0.,标准正态分布,例,标准差为10克,一箱内装有200袋,净重大于20500克的概率.,用机器包装味精,每袋味精的净重,期望值为100克,求一箱味精,解,设箱内第 袋味精,的净重为,独立,同分布;,味精,为随机变量,克.,解,设箱内第 袋味精,的净重为 克,独立,同分布;,近似,由,近似,当 充分大时,近似,近似,在定理的条件下，,( 棣莫佛 拉普拉斯定理 ),设随机变量,证,则,定理,则对一切,有,设随机变量,相互独立,都服从,01分布,( 棣莫佛 拉普拉斯定理 ),设随机变量,定理3.12,则对一切,有,此时，,当 充分大时,( 棣莫佛 拉普拉斯定理 ),设随机变量,定理3.12,则对一切,有,此时，,当 充分大时,近似,近似,二项分布,正态分布,有10000盏灯,设电路供电网中,例,夜晚每一盏灯,都是0.7，,假定各灯开关时间彼此无关,计算,同时开着的灯数,在6800与7200之间,开着的概率,的概率.,解,设同时开着的灯数为,1)10000盏灯,2)每盏灯或开或不开.,3)每盏灯开的概率都是,4)各盏灯是否开互不影响,有10000盏灯,设电路供电网中,例,夜晚每一盏灯,都是0.7，,假定各灯开关时间彼此无关,计算,同时开着的灯数,在6800与7200之间,开着的概率,的概率.,解,设同时开着的灯数为,在第二章中，,究竟以哪个分布,二项分布,泊松分布,二项分布,正态分布,一般说来，,计算结果,不满足上述,就只能用正态分布来近似.,泊松分布也是,二项分布的极限分布,作二