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1.3 行列式的按行(列)展开,1.3.1 三阶行列式的按行(列)展开,对于三阶行列式，容易验证：,可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式 的计算.,定义：,例如：,注：行列式的每个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.,利用代数余子式，可得,定理4 三阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即,例1,例2,行列式中任一行或列的元素与另一行或列对应元素的代数余子式乘积之和为零。即,推论,因此,1.3.2 n阶行列式的按行(列)展开,定理5 n阶行列式等于它的任一行或列的各元素与其代数余子式乘积之和，即,推论 行列式中任一行或列的元素与另一行对应元素的代数余子式乘积之和为零。,上(下)三角行列式计算公式,1.3.3 n阶行列式的计算,计算方法主要有两种：,1.化三角线法 2.降阶法,例1 计算下列行列式,例2 计算行列式,提示2：由于行列式中大部分元素均为3，若将行列式的第三行的(-1)倍分别加到其余各行，将使这些行中的3全部化为零。,提示1：所有行之和为常数,例3 计算行列式,提示：按第一列拆开,再提取公因子,例4 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证: 用数学归纳法,所以, 当 n=2 时, (1)式成立.,假设对 n-1 阶范德蒙德行列式, (1)式成立.,对 n 阶范德蒙德行列式, 作如下变换, ri x1ri-1 ( i = n, n1, , 2, 1 ). 得,按第一列展开, 并把每列的公因子( xi x1 )提出, 就,有:,n1阶范德蒙德行列式,则根据归纳
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