线性方程组与矩阵的定义.ppt

第一节 矩阵,线性代数,1. 线性方程组,其中a11,a22, , ann是系数， b1,b2, , bn是常数项。当b1 0,b2 0, ,bn0时，称之为齐次线性方程组。,一、线性方程组,对于上页线性方程组，如果存在n个数c1,c2, , cn ，当用x1=c1,x2=c2, ,xn= cn代入方程组后，每个方程都成为恒等式，则称x1=c1,x2=c2, ,xn= cn为方程组的一个解。一个线性方程组的所有解的集合称为该方程组的解集；如果两个方程组的解集相同，则称这两个方程组为同解方程组。,对于一般的n元线性方程组，需要解决以下三个问题： 1)如何判定方程组是否有解？ 2)如果方程组有解，它有多少个解？ 3)如何求出线性方程组的全部解？,例1 求解线性方程组,解：,用消元法逐步将方程化简：,由上面的方程组可知，无论x1,x2, x3,x4取何值，都不能满足第三个方程“0=3”，因此所给方程组无解。,见书中例1（P31）,从上述例子的求解过程可以看到，我们对线性方程组作了三种变换： （1）把一个方程的倍数加另一个方程上； （2）互换两个方程的位置； （3）用一个非零数乘某一个方程。 这三种变换称为线性方程组的初等变换。,从上述例子的求解过程可以看到，在求解过程中只对线性方程组的系数和常数项进行了运算。因此，为了书写方便，对于一个线性方程组可以只写出它的系数和常数项，并把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵。只列出方程组中未知量系数的表称为方程组的系数矩阵。例1中方程组的增广矩阵和系数矩阵分别为,容易看出，给了一个线性方程组，它的增广矩阵就被惟一地确定；反之，给定增广矩阵，线性方程组也被惟一确定下来。求解线性方程组的过程，等价于对其增广矩阵进行一系列相应的“运算”过程。为此，有必要对矩阵理论进行系统的讨论和研究。,二、矩阵的概念,由 个数 排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,简记为,元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,主对角线,副对角线,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为n维行矩阵(或n维行向量).,方阵主对角线上的元素称为此,方阵的对角元。,只有一列的矩阵,称为n维列矩阵(或n维列向量).,称为对角 矩阵(或对角阵）.,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵， 零 矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,(5)方阵,当对角矩阵的主对角线上的元素都相同时，称它为数量矩阵。如下：,或,特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵（或n阶单位阵），简记为 或 。有时也省略下标n。,形如：,，,的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵。 对角矩阵必须是方阵。一个方阵是对角矩阵当且仅当它既是上三角矩阵，又是下三角矩阵。,三、小结,(1)矩阵的概念,(2) 特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵;,单位矩阵;,对角矩阵;,零矩阵.,思考题,矩阵与行列式的有何区别?,思考题解答,