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*3 复变量的指数函数ex欧拉公式,设有复数项级数,以 Sn 表示(1)的第n个部分和, 并记,则有,若用A, B,分别记这两个极限值, 则级数(1)的和为A+iB. 据此,级数(1)收敛的充要条件是: 级数,都收敛.,级数(1)各项 un 的模为,若级数,收敛, 则称级数(1)绝对收敛. 由关系式,可证得: 若级数(1)绝对收敛, 则级数(1)必收敛.,在点z0收敛. 所有使级数(3)收敛的全体复数构成复,数项幂级数(3)的收敛域.,记,这时和1实数项幂级数一样可证得: 级数(3)对一,切满足,原点为中心, R为半径的圆.,例如级数,由于,故级数(4)的收敛半径 , 即(4)在整个复平面,上都是收敛的, 当 z 为实变量x时, (4)的和函数为实,用同样的方法可定义复变量的正弦函数与余弦函,数:,它们的收敛域都是整个复平面.,以iz代替(5)式中的z, 可得,联系(6)与(7)式, 就有,当z为实变量 x 时, 则得,它称为欧拉公式. 这个公式给出了(实变量)指数函,数与三角函数之间的关系.,得复数的指数形式,与实幂级数一样, 由级数的乘法运算可得,
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