07级南昌大学高数(下)期末试题

南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设 则_.2. 函数 的定义域是_.3. 设函数, 则_.4. 交换累次积分的次序_. 5. 微分方程 的通解为_. 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 过点且与平面平行的平面方程是( B ).(A) . (B) . (C) (D) .2设 , 而 , 则( A ). (A) . (B) . (C) . (D) . 3 设可微函数在点取得极小值, 则下列结论正确的是 ( B ). (A) 在处的导数大于零. (B) 在处的导数等于零. (C) 在处的导数小于零. . (D) 在处的导数不存在.4设L为取正向的圆周, 则曲线积分 之值为 ( A ).(A) . (B) . (C) . (D) .5函数关于的幂级数展开式为 ( D ). (A) (B) . (C) . (D) .三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1求与两平面 和 的交线平行且过点的直线方程.2设而,且具有二阶连续偏导数,求. 四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算曲线积分, 其中L 是由点沿上半圆周到点的弧段.2、利用高斯公式计算曲面积分, 其中为上半球面 的上侧。五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分):1、判定正项级数 的敛散性2、设幂级数 . (1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解.2、(应用题) 计算由平面 和旋转抛物面 所围成的立体的体积.七、(6分) 已知连续可微函数 满足 , 且能使曲线积分 与路径无关, 求.南昌大学 20072008学年第二学期期末考试试卷及答案一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 设 则 .2. 函数 的定义域是.3. 设函数, 则 .4. 交换累次积分的次序： . 5. 微分方程 的通解为：.解三、求解下列各题 (共2小题, 每小题8分, 共16分)1求与两平面 和 的交线平行且过点的直线方程.解: 因为所求直线与两平面的交线平行,也就是直线的方向向量与两平面的法向量、都垂直. 所以取. 故所求直线方程为. 2设而,且具有二阶连续偏导数,求：. 解: 四、求下列积分 (共2小题, 每小题8分, 共16分):1、计算曲线积分, 其中L 是由点沿上半圆周到点的弧段.解: 连接OA构成闭路OABO, 其围成区域为D.沿. 0A（a，0）BDxy 2、利用高斯公式计算曲面积分, 其中为上半球面 的上侧。解: 记为平面的下侧. 由高斯公式有原式 五、解下列各题(共2小题, 每小题8分,共16分):1、判定正项级数 的敛散性解: 所以原级数收敛. 2、设幂级数 . (1). 求收敛半径与收敛区间 ; (2). 求和函数.解: (1). 当时, 发散; 当时, 收敛.故收敛区间为 (2). 设. 即 六、计算题（共2小题. 每小题8分, 共16分）:1、求微分方程 的通解. 解: 不是特征根, 所以设 代入原方程得: 故原方程的通解为: 2、(应用题) 计算由平面 和旋转抛物面 所围成的立体的体积.解法一: 解法二: