2013数学建模协会讲座(第二次的讲稿).ppt

实 例,背景材料 一年前，银行存款利息普遍下调因此，农村部分资金雄厚的个体户想把资金用于土地承包上；另一方面，当地政府也感到资金短缺，想把大面积土地连续10年、20年或30年的承包给农户，但要求承包者必须现在一次性缴纳完10年、20年或30年的合同款，对于承包者提前支付的合同款，政府决定按提前的时间分别予以计息后，抵合同款，于是就产生了下面的问题,例1 农田承包问题,问题 某农场现有若干亩农田要承包给农户，农场决定：每亩地每年收合同款200元，一农户打算连续承包若干亩农田30年，并决定一次性缴完30年的合同款，但对于提前交付的合同款，农场必须按年息10予以计息后抵缴合同款(按单利计算)，问此农户每亩地现在一次性应向农场缴纳合同款多少元?,问题分析 (1)第一年的合同款属于按期交付，不予计息每亩地应收： x1200(元)， 即为 x1十x110(1-1)200(元)。 (2)第二年的合同款属于提前一年交付，应按本金的一年计息后抵合同款，设第二年每亩地留缴本金x2元，则每亩地提前缴纳的合同款的本息和应等于当年每亩地需缴的合同款200元即 x2十x210(2-1)200 x2182(元),(3)第三年的合同款属于提前二年交付，应按本金的二年计息后抵合同款，设第三年每亩地需缴本金x3元，则第三年每亩地提前缴纳的合同款的本息和也应等于当年需缴的合同款200元即 x3十x310(3-1)200， x3166(元) (4)依次类推，设第30年每亩地现在应缴本金工：x30元，则有 x30十x3010(30-1)200， x3051 (元).,(5)设该农户每亩地现在一次性应向农场缴款S元，则 Sx1十x2十x3十十x30 = =2849(元) 故此农户每亩地现在一次性应向农场缴合同款2849元,评注 以上问题可建立如下数学模型： 设第i年每亩地现在提前交付的本金为xi元。则 xi十xiA(i一1)a (1) 其中A为年利息，a为每亩地每年规定缴纳的合同款 运用公式(1)可算出第i年每亩地，现在需交的合同款设农户连续承包农田n年，每亩地第一年一次性缴纳的合同款为Sn，则 Sn ,例2 红绿灯问题,问题 在一个由红绿灯管理下的十字路口，如果绿灯亮15秒钟，问最多可以有多少辆汽车通过这个交叉路口?,问题分析 因为交通灯对十字路口的控制方式很复杂，我们这里研究的所有车辆都是直行穿过路口，不拐弯行驶到马路一侧或单行线上的车辆。假设车辆长度均为L米，每相邻两辆车之间的距离相等均为D米，前一辆车,启动后，下一辆车启动的延迟时间均为T秒，红灯前停止的汽车按照匀加速运动 来描述。对于红灯前第n辆车，则有,若在城市道路上行驶的汽车的最高时速限制为 米/秒，并设汽车启动后一直加速到这个最高速度，并以这个速度向前行驶，则汽车加速时间为,由上面分析可得到绿灯亮后汽车行驶的规律是,实例 对于模型的参数值，我们取L5米，D2米，T1秒，据调查，城市的十字路口汽车的最高速度一般是40千米小时，即 米/秒，10秒钟内车子可以由静止加速到20米/秒，其加速度为 a2米/秒2， 秒 根据这些参数，可以计算出绿灯开始亮到亮至15秒，每辆汽车的位置如下表所示。,车的位置表,结论 从上表可见，当绿灯亮到15秒时，第八辆汽车已经驶过红绿灯9米，而第9辆汽车还距交通灯9.1米，因此不能通过。,例3 贷款购房问题,问题的提出 现在，国家鼓励贷款消费。所谓贷款消费，就是某人要购买一样东西，但未有足够的资金，于是向银行进行抵押贷款，而银行要求此人逐月归还本与息，直至把本息全部还清为止。抵押贷款已逐渐被人们所接受。 张三准备向银行抵押贷款购房，假如你(指学生)是经纪人，请你向张三提供以下信息或资料：,1. 抵押贷款购房的利息是多少?最高贷款额是多少? 2. 张三向银行借贷了a万元人民币，计划n年把本息还清(1n30)(日前政策规定抵押贷款购房还款期限最长为30年)。请你为张三向银行还钱设计一种合理的还钱方案(不要直接咨询结果)。(已知张三贷款时的n年期贷款月利率为p)。,问题的解决 对于第1个问题，各位同学通过调查，都能正确回答。,第2个问题的解决，实际上要求大家抓住问题的数学本质，建立一个数学模型，以便解决抵押贷款购物的还钱方式问题。开始时也许同学们会感到不习惯，无从人手，不懂得从实际问题中去粗取精，不懂得抓住问题的数学本质。而我们也不急于要求马上得出结论，不急于堂上解决，而是给予足够的时间和空间，让大家充分地思考、讨论、研究。同学们可不自觉地自由组合起来，到本校、本市图书馆主动查问有关资料，或自己组织开展活跃的调查、争论，互相交换各自意见。,随着思考、交流、研究的不断深入，大家会慢慢认清了这个问题的数学本质，问题就逐步得到解决。我们把研究的结果收集起来，并组织交流。 事实上，设计的方案主要有以下两种：,方案一：把所借贷的本金平均逐月归还；同时把每个月的利息归还。所以，借贷期限内各月的还款金额(单位为万元)依次为：,大家可观察各个月的利息有什么特征?各个月的利息组成等差数列，我们还可给这种还钱方案命名，或者叫“减少方式”，或者叫“等差方式”等等。其实，“这种还钱方案就是银行常用的，叫做递减法公式还钱方案”。,方案二：把所借贷的本金以及借贷期内的所有利息两者总和平均逐月归还。那么，平均每月还多少钱? 设平均每月还 元，则,例4 食堂采购问题,问题 食堂采购员每天都需要买定数量的鲜肉鲜肉市场上的价格时有浮动。问采购员应采用怎样的采购方式采购肉会比较合算？,问题分析 由于鲜肉在市场上的价格时有浮动，因此，采购员采用什么方式采购才比较合算是一个十分复杂的问题。对这一问题的研究，必须先对实际问题作些必要的抽象与简化。,例如，我们作如下的假设：假设采购员只有两种可供选择的采购方式。第一种是，每天都买固定数量的肉；第二种是，每天都买固定钱数的肉。在这种简化假设下，我们来研究采购员采用哪种方式购肉比较合算。,问题的求解,练习：,T型通道的优化设计 很多拥有大型设备的企业，如：火力发电厂，它拥有锅炉，汽轮机，发电机等大型设备，在进行厂房规格的设计时，必须首先考虑这些大型设备能够顺利安装到机位上。如何将设备顺利地安装到机位上这就涉及到