matlab符号计算2.ppt

第7章 符号计算,在科学研究和工程应用中，除了存在大量的数值计算外，还有对符号对象进行的运算，即在运算时无须事先对变量赋值，而将所得到结果以标准的符号形式来表示。MATLAB符号计算是通过集成在MATLAB中的符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。应用符号计算功能，可以直接对抽象的符号对象进行各种计算，并获得问题的解析结果。 【本章学习目标】 掌握符号对象的定义方法以及符号表达式的运算法则。 掌握微积分的符号计算方法。 掌握级数求和的方法以及将函数展开为泰勒级数的方法。 掌握代数方程和微分方程符号求解的方法。,7.1 符号对象及其运算 MATLAB为用户提供了一种符号数据类型，相应的运算对象称为符号对象。例如，符号常量、符号变量以及有它们参与的数学表达式等。在进行符号运算前首先要建立符号对象。 7.1.1 建立符号对象 1建立符号对象 （1）sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为 符号量名 = sym(符号字符串) 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。例如： a=sym(a) %建立符号变量a 符号变量参与运算前无须赋值，其结果是一个由参与运算的变量名组成的表达式。,a=sym(a); %定义符号变量a w=a3+3*a+10 %符号运算 w = a3 + 3*a + 10 x=5; %定义数值变量x w=x3+3*x+10 %数值运算 w = 150 whos %查看内存变量 Name Size Bytes Class Attributes a 1x1 126 sym w 1x1 8 double x 1x1 8 double,（2）syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。syms函数的一般调用格式为 syms符号变量名1符号变量名2符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符（），变量间用空格而不要用逗号分隔。例如，用syms函数定义4个符号变量a、b、c、d，命令如下： syms a b c d,2建立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下2种方法。 （1）用sym函数建立符号表达式。例如： U=sym(3*x2-5*y+2*x*y+6) U = 3*x2-5*y+2*x*y+6 F=sym(cos(x2)-sin(2*x)=0) F = cos(x2)-sin(2*x)=0 M=sym(a,b;c,d) M = a, b c, d （2）使用已经定义的符号变量组成符号表达式。例如： syms x y; V=3*x2-5*y+2*x*y+6 ans = 3*x2 + 2*y*x - 5*y + 6,1符号表达式的四则运算 符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、*、/、 运算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。例如： f= sym(2*x2+3*x-5) %定义符号表达式 g= sym(x2-x+7) f+g ans= 3*x2 + 2*x + 2 fg ans= (2*x2 + 3*x - 5) (x2 - x + 7),2符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或分母。其一般调用格式为 n,d=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它们存放在n与d中。 numden函数在提取各部分之前，将符号表达式有理化后返回所得的分子和分母。 如果符号表达式是一个符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母数组。例如： h=sym(3/2,(2*x+1)/3;a/x+a/y,3*x+4) ; n,d=numden(h) n = 3, 2*x + 1 a*x + a*y, 3*x + 4 d = 2, 3 x*y, 1,3符号表达式的因式分解与展开 factor(s)：对符号表达式s分解因式。 expand(s)：对符号表达式s进行展开。 collect(s)：对符号表达式s合并同类项。 collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。 例如： syms x y; s1=x3-y3; factor(s1) %对s分解因式 ans = (x - y)*(x2 + x*y + y2) s2=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); expand(s2) %对s展开 ans = 7*x4 - 13*x2*y2 - 24*y4 s3=(x+y)*(x2+y2+1) collect(s3,y) %对s按变量x合并同类项 ans = y3 + x*y2 + (x2 + 1)*y + x*(x2 + 1) factor(sym(630) %对符号整数分解因式 ans = 2*32*5*7,4符号表达式系数的提取 c = coeffs(s , x) 该函数返回多项式中按指定变量升幂顺序排列的系数，若没有指定变量，则返回所有项的常系数，且按离字符“x”近原则确定主变量。例如： syms x y s = 5*x*y3 + 3*x2*y2 + 2*y + 1; coeffs(s) %求所有项的常系数，按x的升幂排列 1, 2, 5, 3 coeffs(s,y) %求变量y的系数 1, 2, 3*x2, 5*x,5符号表达式的化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数如下。 simplify(s)：应用MuPAD简化规则对s进行化简。 simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例如： s= sym(x2+5*x+6)/(x+2); simplify(s) ans= x + 3 函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果表达式中含有最少字符的那种形式。例如 s= sym(cos(3*acos(x); simple(s) %自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果 显示一系列化简过程后，最后显示化简结果： ans = 4*x3 - 3*x,6符号表达式与数值表达式之间的转换 利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。 函数eval可以将符号表达式变换成数值表达式。 7符号多项式与多项式系数向量之间的转换 利用函数sym2poly可以将符号多项式转换为多项式系数向量，而函数poly2sym可以将多项式系数向量转换为符号多项式。,7.1.3 符号表达式中变量的确定 findsym、sysvar函数可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为 findsym(s,n) symvar(s,n) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指定n，则返回s中的全部符号变量。findsym以字符串形式返回结果，symvar以向量形式返回结果。例如： syms x a y z b; %定义5个符号变量 s1=3*x+y; s2=a*y+b; %定义2个符号表达式 findsym(s1) ans = x, y symvar(s1+s2) ans = a, b, x, y 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。 找寻除i、j之外，在字母顺序上最接近x的小写字符。 若表达式中有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII大者优先。,7.1.4 符号矩阵 函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。,syms a b x y m= (a2-x2)/(a+x), sin(y)2,(x-y)/(a+b);1,15,x2+y2-2*x*y; simplify(m) %对符号矩阵化简处理 ans = a-x, 1-cos(y)2, (x-y)/(a+b) 1, 15, x2+y2-2*x*y factor(m) %对符号矩阵因式分解 ans = a-x, sin(y)2, (x-y)/(a+b) 1, 15, (x-y)2,7.2 符号微积分,用符号运算能获得微积分的解析解。 7.2.1 符号极限 在MATLAB中求函数极限的函数是limit，可用来求函数在指定点的极限值和左右极限值。对于极限值为“没有定义”的极限，MATLAB给出的结果为NaN，极限值为无穷大时，MATLAB给出的结果为inf。limit函数的调用格式如下。 limit(f,x,a)：求符号函数f(x)的极限值，即计算当变量x趋近于常数a时，f(x)函数的极限值。变量可以是其他的符号变量。 limit(f,a)：求当默认自变量x趋近于常数a时，符号函数f(x)的极限值。当a默认时，求当默认自变量x趋近于0时的极限值。 limit(f,x,a,right)或limit(f,x,a,left)：求符号函数f的极限值或。right表示变量x从右边趋近于a，left表示变量x从左边趋近于a。,极限1： f=sym(sin(x+h)-sin(x)/h); limit(f,sym(h),0) ans = cos(x) 极限2： f=sym(1+t/x) x); limit(f,inf) ans = exp(t),极限3： f=sym(x*(sqrt(x2+1)-x); limit(f,sym(x),inf,left) ans = 1/2 极限4： f= sym(cot(x) (1/log(x); limit(f,x,0,right) ans = 1/exp(1),7.2.2 符号导数 diff函数用于对符号表达式求导数，一般调用格式如下。 diff(s)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求一阶导数。 diff(s,v)：以v为自变量，对符号表达式s求一阶导数。 diff(s,n)：按findsym函数指示的默认变量对符号表达式s求n阶导数，n为正整数。 diff(s,v,n)：以v为自变量，对符号表达式s求n阶导数。,%求(1) f1=cos(x*x); diff(f1) %未指定求导变量和阶数，按默认规则处理 ans = (-2)*x*sin(x2) diff(f1,x,2) %求f1对x的二阶导数 ans = - 2*sin(x2) - 4*x2*cos(x2) diff(f1,x,3) %求f1对x的三阶导数 ans = 8*x3*sin(x2) - 12*x*cos(x2) %求(2) f21=a*(t-sin(t); f22=b*(1-cos(t); diff(f22)/diff(f21) %求y对x的一阶导数 ans = -(b*sin(t)/(a*(cos(t) - 1),%求(3) f3= x6-3*y4+2*x2*y2; diff(f3,x) %求z对x的偏导数 ans = 6*x5 + 4*x*y2 diff(f3,y) %求z对y的偏导数 ans = 4*x2*y - 12*y3 diff(diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x),y) ans = 8*x*y,7.2.3 符号积分 符号积分由函数int来实现，一般调用格式如下。 int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分。 int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分。 int(s,v,a,b)：求定积分运算。a、b分别表示定积分的下限和上限。该函数求被积函数在区间a，b上的定积分。a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷（inf）。当函数f关于变量x在闭区间a，b上可积时，函数返回一个定积分结果。当a、b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。,f=sym(1/(1+x2); f1=int(f) %求不定积分 f1 = atan(x) f2=int(f,a,b) %求定积分 f2 = atan(b) - atan(a) f3=int(f,1,2) %求定积分 f3 = acos(5(1/2)/5) - pi/4 eval(f3) %计算积分值 ans = 0.3218,7.3 级 数,7.3.1 级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为 symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省略时使用系统的默认变量。n和m是求和的开始项和末项。,syms n k x; s=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求(1) s= log(2) eval(s) %转换为数值 ans = 0.6931 symsum(xk/sym(k!),k,0,inf) %求(2) y = exp(x),7.3.2 函数的泰勒级数 泰勒级数将一个任意函数表示为一个幂级数，即 MATLAB提供了taylor函数将函数展开为幂级数，其调用格式为 taylor(f,v,n,a) 该函数将函数f按变量v展开为泰勒级数，展开到第n项（即变量v的n 1次幂）为止，n的默认值为6。v的默认值与diff函数相同。参数a指定将函数f在自变量v = a处展开，a的默认值是0。 【例7.6】求函数在指定点的泰勒级数展开式。 （1）求在x = 0处的泰勒级数展开式。 （2）将在x = 1处的5阶展开式。 命令如下： syms x k; taylor(log(x+sqrt(x*x+1) %求(1) ans = (3*x5)/40 - x3/6 + x taylor(1+2*x+3*xx)/(1-2*x-3*xx),5,1) %求(2) ans = (5*x)/8 - (13*(x-1)2)/32 + (29*(x-1)3)/128 - (45*(x-1)4)/512 - 17/8,7.4 符号方程求解,7.4.1 符号代数方程求解 代数方程是指未涉及微积分运算的方程，相对比较简单。在MATLAB中，求解用符号表达式表示的代数方程可由函数solve实现，其调用格式如下。 solve(s)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为默认变量。 solve(s,v)：求解符号表达式s的代数方程，求解变量为v。 solve(s1,s2, ,sn,v1,v2,vn)：求解符号表达式s1，s2，sn组成的代数方程组，求解变量分别为v1，v2，vn。 solve函数能求解一般的线性、非线性或超越代数方程。对于不存在符号解的代数方程组，若方程组中不包含符号参数，则solve函数给出该方程组的数值解。 【例7.7】解方程 x=solve(sym(1/(x+2)+a=1/(x-2) x= (2*(a2 + a)(1/2)/a -(2*(a2 + a)(1/2)/a,【例7.8】解方程组 命令如下： x y z= solve(sym(3*x+2*y-z=10,-x+3*y+2*z=5,x2+3*y2=12) x = (21*43(1/2)*i)/124 + 375/124 375/124 - (21*43(1/2)*i)/124 y = 175/124 - (15*43(1/2)*i)/124 (15*43(1/2)*i)/124 + 175/124 z = (33*43(1/2)*i)/124 + 235/124 235/124 - (33*43(1/2)*i)/124 命令也可写成： x y z= solve(3*x+2*y-z=10,-x+3