《切比雪夫插值节点》PPT课件.ppt

切比雪夫插值节点 带导数条件的插值函数 分段插值函数 二元函数插值简介,数值分析 15,取插值结点: ax0x1xnb 满足Ln(xk)=f(xk)的 n 次多项式插值余项,其中,选取: x0, x1 , xn , 使,结论: 切比雪夫多项式Tn+1(x)的全部零点。,拉格朗日插值余项,2/18,n+1阶切比雪夫多项式: Tn+1=cos(n+1) cos = x 代入得 Tn+1( x ) = cos(n+1) arccos x ),即,f(x)C1, 1, 令 x = cos , 则有 1, 1 0, 将g( ) = f(cos )展开成余弦级数,切比雪夫结点,3/18,例1. 函数,取等距插值结点: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,x-5, 5,11(x)=(x+5)(x+4)(x+3)(x+2)(x+1)x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5),11(x) ,4/18,-4.9491 -4.5482 -3.7787 -2.7032 -1.4087 0.0000 1.4087 2.7032 3.7787 4.5482 4.9491,在-5, 5区间上,取11个切比雪夫结点,( k=10, 9, 8, , 1, 0 ),11(x)=(x x0)(x x1)(x x2)(x x10),5/18,11(x) ,插值函数L10(x)取 切比雪夫结点插值,插值函数L10(x)取 等距结点插值,6/18,已知节点x0和x1处的函数值及导数值,求三次插值函数 H(x)= a0 + a1x + a2x2 + a3x3,三次Hermite插值问题,7/18,例2. 已知插值条件: 求3次插值函数.,解:设,得 a0=0, a1=0, 列出方程组,求解, 得 a2 = 3 , a3 = 2,所以,有 H(x) = 3x2 2x3 = (3 2x)x2,8/18,利用基函数表示Hermite插值,9/18,两点Hermite插值的误差估计式,证明: 由插值条件知 R(x0)=R(x0)=0, R(x1)=R(x1)=0,构造辅助函数,利用 f(x) H(x)=C(x)(x x0)2(x x1)2,取 x 异于 x0 和 x1, 设,10/18,反复应用Roll定理,得F(4)(t)有一个零点设为,显然,F(t)有三个零点x0, x, x1,由Roll定理知,存在F(t)的两个零点t0,t1满足x0t0t1x1,而x0和x1也是F(x)的零点,故F(x)有四个相异零点.,11/18,分段线性插值,插值节点满足: x0x1xn 已知 yj=f (xj) ( j= 0,1,2,n),( j= 0,1,n-1),xxj，xj+1时, 线性插值函数,12/18,分段三次Hermite插值,取 ax0x1xnb,已知函数值和导数值 yj=f (xj), mj = f (xj) ( j= 0,1,2,n) 当 xxj，xj+1时, 两点Hermite插值,( j= 0,1,2,n-1),15/18,矩形区域上函数f(x, y)的双线性插值,插值条件: P(x1, y1) = z1, P(x2, y1) = z2, P(x2, y2) = z3, P(x1, y2) = z4,P(x, y) = ax + by + cxy + d,l1(u，v)= (1 u)(1 v) l2(u，v)= u(1 v) l3(u，v)= u v l4(u，v)= (1 u) v,其中,P(x, y) = z1(1 u)(1 v)+ z2 u(1 v) + z3 u v + z4 (1 u)v,16/18,u,v=meshgrid(0:0.1:1)； L1=(1-u).*(1-v); surf(u,v,L1) figure L2=u.*(1-v); surf(u,v,L2) figure L3=u.*v; surf(u,v,Lu3) figure L4=(1-u).*v; surf(u,v,L4),x=a sin cos y=a sin sin z = b cos ,三角形区域线性插值,插值条件: z1= P(x1, y1) z2 = P(x2, y2) z3 = P(x3, y3 ),(x1, y1),(x3, y3),(x2, y2),拉格朗日方法 P(x, y)=l1(x, y)z1+l2(x, y)z2+l3(x,y)z3,P(x, y)=a x