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3 柯西不等式与刘维尔定理：,定理4.3 设函数f(z)在以,为边界的闭圆盘上解析，那么,其中,定理4.3的证明：,证明：令,是圆,那么，由导数公式，有,其中，n=0,1,2,;0!=1。,注解：,注解1、上面的不等式称为柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如,等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理,刘维尔定理：,定理4.4： 有界整函数一定恒等常数,证明：f(z)是有界整函数，即存在,使得,f(z)在上,解析。由柯西公式，有,令 ，可见,从而f(z)在C上恒等于常数。,3 代数学基本定理,至少有一个零点.,证明,若P(z)在z平面上无零点,因P(z)在z平面上解析,故存在充分大的正数R,从而在z平面上,矛盾.,4 莫勒拉定理：,5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理， 定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有,那么f(z)在区域D内解析。,莫勒拉定理：,证明：,作以为z0心的圆盘,在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即,于是F(z)在K内解析。由系4.1，f(z)在K内，在z0,解析，从而有任意阶导数。又因为z0的任意性，结论成立。,例1,证明,又在z平面上,从而为常数;,例2,证,不等式即证.,例3,证明,在复平面上任取一点z,作圆周,一、重点与难点,重点：,难点：,1. 复积分的基本定理；,2. 柯西积分公式与高阶导数公式,复合闭路定理与复积分的计算,二、内容提要,有向曲线,复积分,积分的计算,积分的性质,柯西积分定理,原函数 的定义,复合闭路 定 理,柯西积分 公 式,高阶导数公式,柯西不等式,刘维尔定理,三、典型例题,例1 计算 的值，其中C为 1）沿从 到 的线段： 2）沿从 到 的线段： 与从 到 的线段 所接成的折线.,解,说明 同一函数
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