《基本计数原理》PPT课件.ppt

第一章 计数原理,1.1 基本计数原理,1.1 基本计数原理,(第一课时),问题1 某旅游团从南京到上海，可以乘汽车，也可以乘火车，假定汽车每日有3班,火车每日有2班,那么一天中从南京到上海共有多少种不同的走法?,5,=3+2,一、新知探究,问题2 后来该旅游团改变行程,增加杭州两日游,先乘汽车从南京至杭州,两天后再乘汽车从杭州至上海, 假定南京至杭州的汽车每天有班, 杭州至上海的汽车每天有班,那么该团从南京经杭州到上海有多少种不同的走法？,=32,6,一、新知探究,分类加法计数原理,做一件事，完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法.,做一件事,完成它需要分成n个步骤，做第一个步骤有m1种不同的方法，做第二个步骤有m2种不同的方法,，做第n个步骤有mn种不同的方法,那么完成这件事共有: 种不同的方法.,N=m1m2mn,分步乘法计数原理,二、基本计数原理,N=m1+m2+mn,完成一件事，共有n类办法，方式是“分类”,完成一件事，共分n个步骤，方式是“分步”,彼此独立，互不影响,相互依存，缺一不可,都是研究完成一件事的不同方法种数的计数方法,三、两个基本计数原理的联系与区别,例1 一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中间放有3本不 同的语文书，下层放有2本不同的英语书. (1)从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？ (2)从书架上任取三本书，数学书、语文书、英语书各一本， 有多少种不同的取法？,从书架上任取一本书，有三类办法： 第一类办法: 从书架上层任取一本数学书， 有 种不同的方法； 第二类办法: 从书架中层任取一本语文书， 有 种不同的方法； 第三类办法: 从书架下层任取一本英语书， 有 种不同的方法. 只要从书架上任意取出一本书，任务即完成， 由分类加法计数原理，可得不同的取法共有: N=5+3+2=10（种）,四、精典例题,解:(1),5,3,2,探究成果: 1.应用两个基本计数原理解题时，要明确是“分类”还是“分步”. “分类”完成用加法计数原理;“分步”完成用乘法计数原理； 2.注意解题步骤的规范.,(2)从书架上任取三本书, 其中数学书、语文书、英语书各一本, 可以分三个步骤完成： 第一步：从书架上层任取一本数学书，有 种不同的方法； 第二步：从书架中层任取一本语文书，有 种不同的方法； 第三步：从书架下层任取一本英语书，有 种不同的方法。 由分步乘法计数原理，可得不同的取法共有:,四、精典例题,5,3,2,N=532=30（种）,完成“组成无重复数字的四位密码”这件事,可以分四个步骤： 第一步：选取左边第一个位置上的数字,有 种选取方法； 第二步：选取左边第二个位置上的数字,有 种选取方法； 第三步：选取左边第三个位置上的数字,有 种选取方法； 第四步：选取左边第四个位置上的数字,有 种选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位密码共有: N=5432=120（个）,例2 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的 (1)银行存折的四位密码？ (2)四位数？ (3)四位奇数？,解:(1),四、精典例题,5,3,2,4,(2)完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤： 第一步：从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有 种不同的选取方法； 第二步：从1，2，3，4中剩余的三个数字和0共四个数字中 选一个数字做百位数字,有 种不同的选取方法； 第三步：从剩余的三个数字中选取一个数字做十位数字， 有 种不同的选取方法； 第四步：从剩余的两个数字中选取一个数字做个位数字， 有 种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，可组成不同的四位数共有: N=4432=96（个）,四、精典例题,4,3,4,2,(3)解法一： 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，有两类办法： 第一类办法：四位奇数的个位数字为1，这件事分三个步骤完成： 第一步：从2，3，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步：从2，3，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位奇数共有: N1=332=18（个） 第二类办法：四位奇数的个位数字为3，这件事分三个步骤完成： 第一步：从1，2，4中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第二步：从1，2，4中剩余的两个数字和0共三个数字中选取一个数字做百 位数字，有3种不同的选取方法； 第三步：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的 选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位奇数共有: N2=332=18（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位奇数共有: N=N1+N2=18+18=36（个）,四、精典例题,(3)解法二： 完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤： 第一步 确定个位数字：从1，3中选取一个数字做个位数字, 有2种不同的选取方法； 第二步 确定千位数字：从1，2，3，4剩余的三个数字中选取一个数字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步 确定百位数字：从1，2，3，4剩余的两个数字和0共三个数字中，选取一个数字做百位数字，有3种不同的选取方法； 第四步 确定十位数字：从剩余的两个数字中，选取一个数字做十位数字，有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，符合条件的四位奇数共有: N=2332 =36（个）,四、精典例题,探究成果,2.对于有特殊元素或特殊位置的问题，可优先安排。,3.对于同一个事件的处理，可以采用不同的解法，但结果肯定是相同的，用这种方法可以起到很好的检验效果。,1.应用两个基本计数原理解题时，首先必须弄明白怎样就能“完成这件事”？其次要做到合理分类，准确分步，按元素的性质分类，按事件发生的过程分步是计数问题的基本方法。,四、精典例题,变式练习： 用0，1，2，3，4这五个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？,完成“组成无重复数字的四位偶数”这件事，有两类办法： 第一类办法：四位偶数的个位数字为0,这件事分三个步骤完成： 第一步：从1，2，3，4中选取一个数字做千位数字，有4 种不同的选取方法； 第二步：从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数字 做百位数字，有3种不同的选取方法； 第三步：从剩余的两个数字中,选取一个数字做十位数字， 有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第一类的四位偶数共有: N1=432=24（个）,解:,四、精典例题,第二类办法：四位偶数的个位数字为2或4，这件事分四个步骤 完成： 第一步：从2，4中选取一个数字做个位数字，有2种不同 的选取方法； 第二步：从1，2，3，4中剩余的三个数字中选取一个数 字做千位数字，有3种不同的选取方法； 第三步：从1,2,3,4剩余的两个数字与0共三个数字中，选 取一个数字做百位数字,有3种不同的选取方法； 第四步：从剩余的两个数字中,选取一个数字做十位数字， 有2种不同的选取方法； 由分步乘法计数原理，第二类的四位偶数共有: N2=2332=36（个） 最后，由分类加法计数原理，符合条件的四位偶数共有: N=N1+N2=24+36=60（个）,四、精典例题,例3 我们把一元硬币有国徽的一面叫正面，有币值的一面叫反面。 现依次抛出5枚一元硬币，按照抛出的顺序得到一个由5个“正” 或“反”组成的序列，如“正、反、反、反、正”。问一共可以 得到多少个不同的这样的序列？,分5个步骤完成这件事，每个步骤都有“正”或“反”两种不同的情况，有分步乘法计数原理，得 N=22222=25=32 所以一共可以得到32个不同的序列.,探究成果: 应用两个计数原理解题时，要注意判断是否重复.,解:,四、精典例题,8,15,14,64,五、当堂测试,2.其次