概率论随机事件及其概率.ppt

通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也可能不发生的事件 定义1.2 随机试验的若干个基本结果组成的集合称为随机事件，简称事件，只含有一个基本结果的事件称为基本事件 常用大字母A,B,C,表示,根据这两说法不难发现 随机事件和样本空间的子集有一一对应关系！,1.2.1 随机事件,1.2 随机事件及其概率,第1章 概率论基础,它们分别可以对应了样本空间S=1,2,3,4,5,6的子集1,2,3,4和2,4,6,“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.,反过来，的每个子集都对应了该试验的一个随机事件,1.2.1 随机事件,关于随机事件概念的几点说明： (1) 任一事件A是相应样本空间的一个子集，基本事件就是只含有一个样本点的事件 (2) 当子集A中某个样本点出现了，就说事件A发生了，或者说事件A发生当且仅当A中某个样本点出现了 (3) 样本空间 包含所有的样本点，作为自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件空集不包含任何样本点，它作为样本空间的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件,1.2.1 随机事件,【例1-2】掷一颗骰子的样本空间为： = 1,2,3,4,5,6 事件A =“出现5点”，它是一个基本事件，可记为A =5； 事件B =“出现奇数点”，可记为B = 1,3,5； 事件C =“出现的点数不大于6”，是必然事件,可记为C = 事件D =“出现的点数大于6”，是不可能事件,可记为D = ,1.2.1 随机事件,1.2.2 事件间的关系及运算 1事件间的关系 (1) 子事件 如果属于事件A的样本点也属于事件B，则称A为B的子事件，记为AB其概率含义是：A发生B必发生 (2) 事件相等 如果事件A与事件B满足：A B且B A，则称A与B相等，记为A = B其概率含义是：A，B中有一个发生另一个也必发生,1.2 随机事件及其概率,(3) 互不相容 如果事件A和B没有相同的样本点，则称A与B互不相容（或互斥）其概率含义是：A，B不同时发生 实例 抛掷一枚硬币, “出现正面” 与 “出现反面” 是互不相容的两个事件.,1.2.2 事件间的关系及运算,2事件运算 1) 事件A与B的和 事件A与B的和事件定义为：由至少属于A，B之一的样本点全体组成的集合，记为AB，其概率含义是：A，B至少有一个发生 实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定, 若C=“产品不合格”, B=“长度不合格”与A=“直径不合格”, 则 C= AB. 图示事件 A 与 B 的和,A,1.2.2 事件间的关系及运算,1.2.2 事件间的关系及运算,2) 事件A与B的积 事件A与B的积事件定义为：由既属于A又属于B的样本点组成的集合，记为AB或AB其概率含义是：事件A与B同时发生 事件A与B互不相容当且仅当其积事件为不可能事件，即AB = ,1.2.2 事件间的关系及运算,图示事件A与B 的积事件.,A,B,AB,实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定,设“产品合格” ，“长度合格”，“直径合格”,1.2.2 事件间的关系及运算,3) 事件 A 与 B 的差,由事件 A 出现而事件 B 不出现所组成的事件称为事件 A 与 B 的差. 记作 A- B.,图示 A 与 B 的差.,A,B,实例 设 “长度合格但直径不合格” ， “长度合格”， “直径合格”.,1.2.2 事件间的关系及运算,4) 对立事件 由在 中而不在A中的样本点组成的集合称为A的对立事件（逆事件）记为 其概率含义是：A不发生显然， ,实例 “骰子出现1点” “骰子不出现1点”,图示 A 与 B 的对立.,B,若 A 与 B对立,则有,1.2.2 事件间的关系及运算,对立事件与互斥事件的区别,B,A、B 对立（互逆）,A、B 互斥(互不相容),互斥,对立,1.2.2 事件间的关系及运算,3事件运算满足的定律 事件的运算性质和集合的运算性质相同，设A,B,C为事件，则有 交换律：AB =BA , AB = BA 结合律：(AB)C=A(BC), (AB)C= A(BC) 分配律： 对偶律：,1.2.2 事件间的关系及运算,【补充例 】设A,B,C 表示三个随机事件,试将下列事件用A,B,C 表示出来.,A( ),(1) A 发生，且 B 与 C 至少有一个发生；,(2) A 与 B 发生，而 C 不发生；,(3) A , B, C 中恰有一个发生；,(4) A , B, C 中至少有两个发生；,(5) A , B, C 中至多有两个发生；,(6) A , B, C 中不多于一个发生.,BC,A B,ABC 不发生；,1.2.2 事件间的关系及运算,课堂练习,填空 以表示事件“甲产品畅销，乙产品滞销”其对立事件 为 ）“甲滞销，乙畅销” ） “甲乙均畅销” ） “甲滞销” ）“甲滞销或乙畅销”,1.2 随机事件及其概率,解 设“甲畅销”，“乙畅销” 则 故的对立事件为），即“甲滞销或乙畅销”,1.2 随机事件及其概率,1.2.3 事件的概率及性质 所谓随机事件的概率，概括地说就是用来描述随机事件发生的可能性大小的数量指标，它是概率论中最基本的概念之一,1.2 随机事件及其概率,1频率与概率的统计定义 首先看频率的概念: 定义1.3 设E为任一随机试验，A为其中任一事件，在相同条件下，把E独立的重复做n次，nA表示事件A在这n次试验中发生的次数（称为频数）比值fn(A) = nA / n称为事件A在这n次试验中发生的频率 频率有如下性质： (1) 对于任一事件A，有0 fn(A) 1； (2) 对于必然事件，有fn( ) = 1； (3) 对于互不相容的事件A，B，有 fn(AB) = fn(A) + fn(B),1.2.3 事件的概率及性质,试验 序号,1 2 3 4 5 6 7,2,3,1 5 1 2 4,22,25,21,25,24,18,27,251,249,256,247,251,262,258,0.4,0.6,0.2,1.0,0.2,0.4,0.8,0.44,0.50,0.42,0.48,0.36,0.54,0.502,0.498,0.512,0.494,0.524,0.516,0.50,0.502,实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率.,波动最小,随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性,1.2.3 事件的概率及性质,试验者,德 摩根,蒲 丰,历史上一些概率统计学家的试验：,1.2.3 事件的概率及性质,从上述数据可得,抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f呈现出稳定性.即当 n 逐渐增大时频率 R总是在 0.5 附近摆动, 且逐渐稳定于.5.,(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的f不一定相同;,1.2.3 事件的概率及性质,概率的统计定义 定义1.4 设有随机试验E，若当试验的次数n充分大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某数p附近波动，则称数p为事件A的概率，记为：P(A) = p 概率的统计定义只是描述性的，一般不能用来计算事件的概率,1.2.3 事件的概率及性质,根据频率和概率的关系以及理论研究的需要，受频率性质的启发,1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构,给出了概率的严格定义,使概率论有了迅速的发展.,Born: 25 Apr. 1903 in Tambov, Tambov province,Russia Died: 20 Oct. 1987 in Moscow, Russia,Andrey Nikolaevich Kolmogorov,1.2.3 事件的概率及性质,2.概率的公理化定义与性质 定义1.5 设 是一随机试验的样本空间，对于该随机试验的每一个事件A赋予一个实数，记为P(A)，称为事件A的概率，如果集合函数P()满足下列公理： (1) 非负性：对于每一个事件A，有P(A) 0； (2) 规范性：对于必然事件，有P( ) = 1； (3) 可列可加性：设A1,A2,是两两互不相容的事件，即对于i j，AiAj = ，i，j = 1，2，则有 (1.1),1.2.3 事件的概率及性质,概率的公理化定义使概率论成为一门严格的演绎科学，取得了与其他数学学科同等的地位 在公理化的基础上，现代概率论不仅在理论上取得了一系列的突破，也在应用上取得了巨大的成就 利用概率的公理化定义，可以导出概率的一些性质,1.2.3 事件的概率及性质,证明,由概率的可列可加性得,概率的性质,1.2.3 事件的概率及性质,证明,由概率的可列可加性得,1.2.3 事件的概率及性质,证明,1.2.3 事件的概率及性质,证明,1.2.3 事件的概率及性质,性质 对任意两个事件A，B，有 P(A B) = P(A) P(AB) 证：因为A B = A AB，且AB A， 所以由性质4得,1.2.3 事件的概率及性质,性质6（加法公式）对于任意两事件A，B有 P(AB) = P(A) + P(B) P(AB) 证：因AB = A(B AB)， 且A(B AB) = ，故由性质2及性质5得,1.2.3 事件的概率及性质,推广 三个事件和的情况,n 个事件和的情况,1.2.3 事件的概率及性质,【例1.4】设事件A，B的概率分别为1/3，1/2在下列二种情况下分别求 的值