波函数与薛定格方程-1.ppt

第二章 波函数与薛定格方程,(1) 如何描述微观粒子的状态 ？,(2) 微观粒子的状态变化时应 遵循什么样的运动规律 ？,1 波函数,一 . “波动性”与“粒子性”矛盾的分析:,1) 研究对象 - 微观粒子: 既不是经典意义上的粒子, 也不是经典意义上的波.,例: 通过对光的认识过程可知, 光就是光 -它既不是粒子也不是波.,2) “波动性”与“粒子性”的矛盾与分析:,历史上曾有过的错误认识:,a) 波包: 夸大了波动性的一面, 从而实际上抺杀了粒 子性的一面 - 有片面性.,b) 波是大量粒子集体运动的表现: 这种观点夸大了粒 子性的一面, 从而实际上抺杀了波动性的一面 而被实践证明是错误的.,3) 分析: 现在的研究对象-微观粒子:,具有一定的质量, 电荷等属性被称为物质的“原子性”, “整体性”或“粒子性”.但不是经典的粒子,抛弃了“轨道”概念.,具有干涉, 衍射现象-本质上是波的相干迭加性.但又不是经典的波, 具有明确的局域性.,结论:1926年, 玻恩( M.Born )把微观粒子的“原子 性”和波的相干迭加性统一起来, 提出了“几率 波”的概念.,4) 电子双缝衍射实验:,目的:通过分析电子双缝衍射实验,寻找正确理解和 认识象电子这样的微观客体的行为特征的途径.,名人名言,Feynman认为: 这一实验设计的包含了量子力学的一切秘密之处, 它把自然的疑难, 特异和神奇性百分之百地摆在你的面前.,若以 来描述电子衍射花样的强度分布,二.波函数:, 波函数本身它并不是一个力学变量-这是与经 典力学的一个重要区别. -从一开始量子力学就 与经典力学完全不同, 它可以向我们提供被研究的微观粒子的各种力学 量的取值及其变化的全部信息.,2)波函数的几率解释:, 归一化条件:,A) “几率波”与经典波动有本质的不同:,对经典波动: 波动方程前乘 以C, 相当与波的振幅被放 大了C倍, 强度被放大了C2 倍, 因此它们是完全不同的 两个波.,B) 归一化系数:,其中,或,C) 波函数位相的不确定性: 当为实数时,3)波函数的标准化条件:,物理上要求：波函数满足单值、连续和有限的条件.,有限性它不排除对某些孤立点有:,但,0,4)自由粒子平面波的波函数:,B) 自由粒子与平面波:,自由粒子不受外界作用, 其动量为确定值,德布罗意关系式,对应的波频率与波矢为恒定,平面波,一般情况下的表示:,波函数统计诠释涉及对世界本质的认识 争论至今未息,哥本哈根学派,爱因斯坦,设归一化因子为C，则归一化的波函数为,(x)= C exp(-2x2/2),（）,取 0，则归一化的波函数为, (x)=（） exp(-2x2/2),例题：将波函数 归一化,解:,量子力学与经典力学,2 薛定格方程,一.自由粒子薛定格方程的建立:,自由粒子波函数,1)为讨论其随时间的变化两边对t求偏导得:,2)它启发我们波函数随时间的变化与能量有关,而对自由粒子有:,3)注意到自由粒子波函数对坐标的导数是与动量有关的, 即有:,同理,4)再由:,同理,5)所以有:,6)把1)和 5)代入 2)的两边可得:,-自由粒子波函数所满足的薛定格方程,该方程的特点:,A) 是一个线性微分方程, 迭加原理适用.,B) 方程系数中不包含与微观粒子状态有关的参量.,例：能量、动量和坐标算符对沿x方向传播自由平面波波函数,的作用,利用对应关系得“算符关系等式”,把“算符关系等式”作用在波函数上得到,2) 三维情况：,二.一般情况下的薛定格方程:,1) 一维情况：,其中：,利用对应关系得“算符关系等式”,把“算符关系等式”作用在波函数上得到,该方程于1926被Schdinger首次给出, 并为此荣获1933年诺贝尔物理奖.,Schdinger方程是非相对论量子力学的基本动力学方程.其在量子力学中的地位与牛顿定律在经典力学中的地位是相同的.,三. 定态薛定格方程:,1) 定态薛定格方程,A)分离变量:,其中E为常数.,B)本征值与本征值方程:,E为算符 或 的本征值而上述方程被称为该算符的本征值方程.,D)定态: 这时,在这种状态下微观粒子在各处出现的几率与时间无关 - 因此被称为定态,被称为定态波函数.,E)定态薛定格方程: 方程,被称为定态薛定格方程.,定义:,对定态情况时有:,这里 被称为系统的哈密顿量.,2) 多粒子系统的定态薛定格方程:,研究对象: 总粒子数=N, 粒子的质量mi(i=1,2,3N),粒子间的相互作用势能为:,外场与粒子间的相互作用势能为:,若V与Ui都与时间无关,则我们可以研究其定态问题.,A)波函数:,其物理意义为:,归一化条件为:,C)多粒子系统的定态薛定格方程:,这里的E就