固体物理答案第二章晶体的结构习题和答案

1 第二章第二章 晶体的结构习题及答案晶体的结构习题及答案 1晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，0A，0B和0C分别与基矢 1 a， 2 a和 3 a重 合，除0点外，0A ，0B ，和0C上是否有格点？若ABC面的指数为（234） ，情况又如何？ 解答晶面家族（123）截 1 a， 2 a，和 3 a分别为 1，2，3 等份，ABC面是离原点0最近的晶面， 0A的长度等于 1 a长度，0B的长度等于 2 a的长度的 1/2 ，0C的长度等于 3 a的长度的 1/3 ，所以只有 A 点 是格点。若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B、和C都不是格点。 2在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的？ 解答 在结晶学中，晶胞选取的原则是既要考虑晶体结构的周期性又要考虑晶体的宏观对称性。 3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光？ 解答晶体中原子间距的数量级为 10 10米，要使原子晶格成为光波的衍射光栅，光波的波长应小 于 10 10米。但可见光的波长为 7.6 7 100 . 4 米,是晶体中原子间距的 1000 倍。因此，在晶体衍射中， 不能用可见光。 4温度升高时，衍射角如何变化？X 光波长变化时，衍射角如何变化？ 解 答 温 度 升 高 时 ， 由 于 热 膨 胀 ， 面 间 距 hkl d逐 渐 变 大 ， 由 布 拉 格 反 射 公 式 ndhkl=sin2可知，对应同一级衍射，当 X 光波长不变时，面间距 hkl d逐渐变大，衍射角逐渐变小。 所以温度升高，衍射角变小。 当温度不变，X 光波长变大时，对于同一晶面族，衍射角随之变大。 5以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体 积的比值称为结构的致密度）分别为： （1）简立方， 6 ；（2）体心立方， 8 3 ； （3）面心立方， 6 2 ；（4）金刚石结构， 16 3 。 解答该想晶体是由刚性原子球堆积而成。一个晶胞中刚性原 子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度。 设n为一个晶胞中刚性原子球数，r表示刚性原子球半径，V表 示晶胞体积，则致密度 V rn 3 3 4 = （1） 对简立方晶体，任一个原子有 6 个最近邻，若原子以刚性 球堆积，如图 2.1 所示，中心在 1，2，3，4 处的原子球将依次相切。 图 2.1 简立方晶胞 2 因为ra2=， 3 aV=，晶胞内包含 1 个原子，所以 6 ) 2 ( 3 4 3 3 = a a 。 （2） 对体心立方晶体，任一个原子有 8 个最近邻，若原子以刚性 球堆积，如图 2.2 所示，体心位置 O 的原子与处在 8 个角顶位置的原子 球相切。因为晶胞空间对角线的长度为ra43 =， 3 aV=，晶胞内 包含 2 个原子，所以 8 3 ) 4 3 ( 3 4 2 3 3 = = a a 。 （3）对面心立方晶体，任一个原子有 12 个最近邻，若原子以 刚性球堆积，如图 2.3 所示，中心位于角顶的原子与相邻的 3 个面 心原子相切。因为ra42=， 3 aV=，1 个晶胞内包含 4 个原 子，所以 6 2 ) 4 2 ( 3 4 4 3 3 = = a a 。 （4）对金刚石结构，任一个原子有 4 个最近邻，若原子以刚 性球堆积，如图 2.4 所示，中心在空间对角线四分之一处的 O 原 子与中心在 1，2，3，4 处的面心原子相切，因为 ra83 = 晶胞体积 3 aV= 1 个晶胞内包含 8 个原子，所以 16 3 ) 8 3 ( 3 4 8 3 3 = = a a 。 6 在立方晶胞中，画出（101） ， （021）晶面。 解答 图 2.5 (a) (101)面, (b) (021)面 图 2.5 中虚线标出的面即是所求的晶面。 图 2.2 体心立方晶胞 图 2.3 面心立方晶胞 图 2.4 金刚石结构 3 7. 六角晶胞的基矢j a aia 22 3 +=,j a aib 22 3 +=，ckc=。求其倒格基矢。 解答晶胞体积为cackj a aij a aicba 2 2 3 )() 22 3 () 22 3 (=+=。 其倒格矢为 ) 3 3 ( 2 3 2 )() 22 3 (2 2 2 * ji aca ckj a ai cb a+=+= = 。 ) 3 3 ( 2 3 2 ) 22 3 ()(2 2 2 * ji a ca j a aick ac b+=+= = 。 k cca j a aij a ai ba c 2 3 2 ) 22 3 () 22 3 (2 2 2 * =+= =。 8 证明以下结构晶面族的面间距： （1）立方晶系： 2/1222 +=lkhadhkl； （2）正交晶系： 2/1222 )()()( += c l b k a h dhkl； （3）六角晶系： 2/12 2 22 )()( 3 4 + + = c l a hkkh dhkl。 解答 （1）设沿立方晶系晶轴cba,的单位矢量分别为i，j，则 正格子基矢为 aia=，ajb=，akc=， 倒格子基矢为i a a 2 * =，j a b 2 * =，k a c 2 * =。 与晶面族（hkl）正交的倒格矢 * lckbhaKhkl+=。 图 2.6 立方晶胞 4 由晶面间距 hkl d与倒格矢 hkl K的关系式 hkl hkl K d 2 = 得 222 lkh a dhkl + =。 （2）对于正交晶系，晶胞基矢a，b，c相互垂直，但晶格常数cba，设沿晶轴a，b，c的 单位矢量分别为i，j，k，则正格子基矢为aia=，bjb=，ckc=， 倒格子基矢为i a a 2 * =，j b b 2 * =，k c c 2 * =。 与晶面族（hkl）正交的倒格矢 * lckbhaKhkl+=。 由晶面间距 hkl d与倒格矢 hkl K的关系式 hkl hkl K d 2 = 得 2/1222 )()()( += c l b k a h dhkl。 （ 3 ） 对 于 六 角 晶 系 ，cba=， 0 90=， 0 120=， 晶 面 族 （hkl） 的 面 间 距 2 * * 222 lckbha lckbha K d hkl hkl + = + = 也即)(2)(2)(2 4 11 *2*22*22*2 22 cahlcbklbahkclbkah dhkl += （1） 由图 2.8 可求得六角晶胞的体积 cacacabac 2022 2 3 120sinsin)(=。 倒格基矢的模 aca aac cb aba 3 4 )2/3( sin2 2 2 * = =。 图 2.7 正交晶胞 5 c ca a ba cc 2 )2/3( sin2 2 2 2 * = =。 倒格基矢间的点积 2 2 2 222 2 2 2 2 2 2 * 3 8 )coscos(cos 4 )()( 4 )( 4 )()( 4 a a ca ccabaccb cbacaccbba = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 其中利用了矢量混合积的循环关系 )()()(BACACBCBA= 及关系式)()()(BACCABCBA=。 因为)(ba矢量平行于c，所以0)()( 4 2 2 * = =bacbca ， 0)()( 4 2 2 * = =baaccb 。 将以上诸式代入（1）式，得 2 2 2 22 2 3 )(4 c l a hkkh dhkl+ + = ， 即 2/12 2 22 )()( 3 4 + + = c l a hkkh dhkl。 9求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族)( 321 hhh的面间距。 解答面心立方正格子的原胞基矢为 )( 2 1 kj a a+=，)( 2 2 ik a a+=，)( 2 3 ji a a+= 图 2.8 六角晶胞 6 由 = 2 32 1 aa b ， = 2 13 2 aa b ， = 2 21 3 aa b ， 可得其倒格子基矢为 )( 2 1 kji a b+= ，)( 2 2 kji a b+= ，)( 2 3 kji a b+= ， 倒格矢 332211 bhbhbhKh+= 根据式 h hhh K d 2 321 =，得面心立方晶体晶面族)( 321 hhh的面间距 2/12 321 2 321 2 321 )()()( 2 321 hhhhhhhhh a K d h hhh + = 。 体心立方正格子原胞基矢可取为 )( 2 1 kji a a+=，)( 2 2 kji a a+=，)( 3 kji a a a+=。 其倒格子基矢为)( 2 1 kj a b+= ，)( 2 2 ik a b+= ，)( 2 3 ji a b+= 。 则晶面族)( 321 hhh的面间距为 2/12 21 2 13 2 32 )()()( 2 321 hhhhhh a K d h hhh + = 。 10 试证三角晶系的倒格子也属于三角晶系。 解答 对于三角晶系，其三个基矢量的大小相等，且它们相互间的夹角也相等，即 aacabaa= 321 ，=。 利用正倒格子的关系，得b aaa b= = = sin22 2 32 1 ， 7 b aaa b= = = sin22 2 13 2 b aaa b= = = sin22 2 21 3 。（1） 设 1 b与 2 b的交角为 12 ， 2 b与 3 b的交角为 23 , 3 b与 1 b的交角为 31 ,则有 )cos(cos 4 )()( 4 )( 4 )()( 4 cos 2 2 42 2 213231 2 2 3321 2 2 1332 2 2 12 2 21 = = = = a aaaaaaa aaaaaaaabbb （2） 由（1）和（2）式得 cos1 cos cos1 )cos1 (cos sin coscos cos 22 2 12 + = = =。 由 32 bb和 13 bb可得 cos1 cos cos 23 + =， cos1 cos cos 31 + =。 可见倒格基矢 1 b与 2 b的交角， 2 b与 3 b的交角, 3 b与 1 b的交角都相等。这表明三个倒格基矢的长度不仅相 等，且它们之间的夹角也相等，所以三角晶系的倒格子也属于三角晶系。 11一维原子链是由一维原子链是由A，B两种原子构成，设两种原子构成，设A，B原子的散射因子分别为原子的散射因子分别为 A f和和 B f， 入射入射X射线垂直于原子链，证明射线垂直于原子链，证明 （1 1）衍射极大条件是衍射极大条件是na=cos，a是晶格常数，是晶格常数，是衍射束与原子链的夹角是衍射束与原子链的夹角. . （2 2） 当当h h为奇数，衍射强度比例于为奇数，衍射强度比例于 2 BA ff. . （3 3） 讨论讨论 BA ff=情况情况. . 解答 （1） 如图 1 所示，设原子是等间距的，衍射光束与原子链的 夹角为， 当入射X光垂直于原子链时，A原子或B原子散射波的 光程差为cosa。当na=cos时，各A原子（或B原子）的 散射波的相位差为 0 ，散射波相互加强，形成很强的衍射光。 （2） 一个原胞内包含A，B两个原子，取A原子的坐标 图 1 X 光衍射 8 为（000） ，B原子的坐标为（00 2 1 a） 。倒格矢xh a bhGh 2 = ，则几何结构因子 BhAh