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设曲面 S 的方程为：,如图，,4 Applications of Multiple Integral 一、The Surface Area,曲面S的面积元素,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,设曲面的方程为：,曲面面积公式为：,同理可得,利用对称性, 考虑第一卦限部分,则,Eg.1,计算圆柱面,被圆柱面,所截的部分的面积.,Sol.,A1,曲面方程,Sol.,Eg. 2 求球面,含在圆柱面,内部的那部分面积.,利用对称性, 考虑第一卦限部分,曲面方程,则,Sol.,两曲面的交线为圆周,在 x o y 平面上的投影域为:,二、The Center of Mass of the Lamina,当薄片是均匀的，重心称为形心.,由元素法,薄片关于 轴对称,Sol.,Eg.4,Sol.,所求形心坐标为,Eg.6 在均匀的半径为R的圆形薄片的直径上 , 要接上一,个一边与直径等长的同样材料的均匀矩形薄片,使整个,的另一边长度应为多少?,Sol. 建立坐标系如图.,由对称性知,由此解得,问接上去的均匀矩形薄片,即有,薄片的重心恰好落在圆心上 ,Eg.7 计算二重积分,其中D 是由曲,所围成的平面域 .,Sol.,其形心坐标为:,面积为:,积分区域,线,形心坐标,利用重心公式简化重积分计算,三、The Moments of Inertia of the Lamina,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,Sol.,() The Center of Mass,四、Applications of Triple Integral,() The Moments of Inertia,Sol. 取球心为原点, z 轴为 l 轴,则,球体的质量,Eg.9 求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量.,设球,所占域为,(用球坐标),薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,五、引力,Sol.,由积分区域的对称性知,所求引力为,几何应用：曲面的面积,物理应用：重心、转动惯量、,对质点的引力,（注意审题，熟悉相关物理知识）,小结,解1,补充
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