《数理统计基本知识》PPT课件.ppt

第三章 数理统计基本知识,3.1 基本术语,3.1.1 总体和及其概率分布 1) 总体：即所研究对象的全体。有时亦称母体， 分有限总体和无限总体，当组成有限总体的个数相当多时，可当作无限总体来处理。 2) 总体概率分布：总体的自身特点，可选择相应的随机变量概率模型来描述。把描述总体随机变量的概率分布叫做总体概率分布。,3) 个体：母体中每一个产品的性质。母体是由若干个个体组成。,3.1.2 样本及其统计参数, 抽样：从总体（或母体）中随机的抽取或组成样本的过程称为抽样。, 经验分布：由一组样本观测值做出的分布称为经验分布。,3.1.3 统计量 与抽样分布,例1：若母体服从,，则样本均值服从,分布。,由此可见：总体是正态分布，不论样本的大小，样本均值的分布恒为正态分布，其数学期望就是总体的数学期望，样本均值的方差是总体方差的1/n倍。,3.2可靠性数据的收集与整理,1.数据的收集 实验室数据 是室内有计划的对产品进行模拟寿命实验，测定故障发生的时间以及各种信息，在对所测数据进行整理、分析。,现场数据 通过现场使用和现场实验收集产品的失效数据。,2.数据整理 （1）异常值剔除方法 通常规则：如果有10个以上的数据，若其中有一个值落在区间x-4s,x+4s之外，则可将其看作异常值加一剔除。其中，x为均值，s为均方差。 （2）频率直方图或频数直方图 数理统计从样本出发，对被研究对象母体的概率分布和统计参数进行估计或判断。下面介绍一种粗略方法估计母体的概率分布。 频率直方图是将样本观测值进行适当分组，然后计算每一组中数据的个数（频数），在直角坐标系上，以分组区间长度为底边，以组中数据的数值为高画出一张矩形图。,具体作图步骤： （1）先将样本观测值按从小到大的顺序排列，在按照表3-1进行剔除异常数据。 （2）按下式计算分组数,（3）计算样本观测值的极差,（4）确定组距,（5）确定落如每组距中数据的个数 ，即为该区间的频数。,（6）以样本取值范围为横坐标，频数为纵坐标画出频数直方图。,例2：经测试获得的50个弹簧刚度观测数据列于表中，试画出该样本的频数直方图。,（）这组数据的有序样本形式为,样本容量，可通过公式计算，均值为.，方差为.，区间为-.，.通过比较认为该样本无异常数据出现,（）计算数据的组分数,（）样本极差计算得,取m=7,（）确定组距为,（）计算频数列表,为了将刚好出在组距边缘上的数据划入组内将组距扩大0.005,1. 点估计 设是未知参数，x1， x2， xn是一个子样，那末用来估计未知参数的统计量 称为 的点估计。换句话说，所要求的未知参数可直接由子样的数值 计算出来的。,3.2 分布参数的估计,1) 矩法（数字特征估计法） 用子样的各阶矩去估计母体的各阶矩的方法。,对于离散型随机变量母体分布列为,它相当于第i次抽得xi的概率，现从总体中抽得一样本x1 ，x2,，xn,则这一样本观测值出现的概率为,而对于连续型随机变量的总体， 为相应的分布密度。,L()称为似然函数。对于不同的 ，函数L()值不一样，如 L()达到极大值存在的话，此时的 就是的极大似然估计 值， 应满足下列方程,该式称为似然方程。,当总体包含m个未知参数，则似然函数将写成,又因L()和lnL()同时达到极大值，有时按lnL()计算较为方便。,故解似然方程组,即可求的一组极大似然估计值,例3-1 设t1,t2,tn .为正态总体N(,2)一个样本，求，得极大似然估计量。,解：似然函数为：,由以上两式解得：,对于正态总体，样本平均值是均值的极大似然估计值，同时也是无偏估计量 ；但 的极大似然估计量与方差有所不同，它不是无偏估计量，而只是一个渐进无偏估计量，但有关系式,当N较大(N50)时，用极大似然估计法或用s2估计2，两者相差无几； 当N较小时(N50)时，则有较大出入，可利用方差的极大似然估计量换算成无偏估计量；,区间估计 1）置信区间和置信度,图3-1 参数的区间估计,2）关于总体均值（数学期望）的区间估计,可以证明，随机变量t具有如下的分布密度：,这个分布律称为具有自由度k=n-1的“学生”分布或t分布。,值得注意的是：t分布完全与随机变量的分布参数及无关，而只与观察次数n有关。,图3-2 分布的密度曲线,例3-2 测得某自动车床加工的十个零件的尺寸与规定的尺寸的偏差如下：,求零件尺寸偏差的数学期望以概率0.9及0.99位于其中的置信区间。,3）关于总体方差的区间估计,可以证明，随机变量 具有如下的分布密度：,这个分布律具有自由度k=n-1的2分布。,利用表查到对应于已给的概率(1-)及自由度k=n-1的 及 的值，从而求得方差2和均方差的置信区间。,例3-3 同例3-2，求零件尺寸偏差的数学期望以概率0.9及0.98位于其中的置信区间。,3.3 分布律的假设检验,3.3.1 分布函数的假设 参照以往同类或相近产品的使用经验，假设一种易于说明其失效现象本质的分布（如对数正态分布、正态分布分布）；或假设那种在数学模型上易于处理的分布函数，然后检验有关样本的符合程度（拟合性），做出是否切合实际的推断。,推荐的机电设备及零部件失效分布函数的假设分布见图3-1。,表3-1 机电设备及零部件失效分布函数的假设分布（推荐）,3.3.2 分布的拟合性检验,1. 皮尔逊(Pearson)2检验法 适用范围：在总体分布函数F(x)未知时，若N充分大（N 50）,则不论总体是什么分布（离散型或连续型，母体参数已经或未知），都可以根据样本x1，x2,xn，用2检验法检验关于总体分布的假设。,2检验法是计算理论频数与实际频数之间的差异，将检验统计量的观测值与临界值进行比较。,作为检验实际分布与理论分布符合的尺度，皮尔逊提出上述检验统计量2后，并证明了它近似地服从自由度为=k-r-1的2分布。其中，k为区间组数，r为待估参数数目。,注意事项： 1. 要求样本容量N不小于50； 2. 每一个区间理论频数Npi都不小于5； 3. 区间数k不少于5。,例3-3 观察200个零件的失效时间，每隔100h检查一次，记下失效零件个数，直到全部零件失效为止。记录如下表，试检验该零件寿命是否服从指数分布。,解（1）估计假设分布指数分布的参数值。取各组中值作为该组代表值ti。,将最后两组合并为一组，故总计组数k=8,计算过程列入表3-2中。,表3-2 皮尔逊(Pearson)2检验计算表,2. K-S检验法 K-S检验法全称为柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫检验，简称柯氏检验法，又称d检验。 适用范围：它比2检验法更精细，要求指定分布中不含未知参数，适于小样本的情况，都可以根据样本x1，x2,xn， 用KS检验法检验关于总体分布的假设。,图3-5 样本分布函数（阶梯函数）与原假设分布函数的d检验,例2. 某型号钢材从以往统计资料得知，其极限强度服从正态分布N-（455，35）MPa，现对这种型号的钢材抽取10个试样进行强度试验，分别得ri=450,458,442,