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文档简介

相似矩阵及二次型,第五章,1 向量的内积、长度及正交性,1. 定义：,内积,一、内积的定义及性质,注：,2. 内积的运算性质,（施瓦兹不等式）,1. 定义：,令,2. 性质：,二、向量的长度及性质,3. 单位向量：,4. n维向量间的夹角,1. 正交的概念,2. 正交向量组的概念,三、正交向量组的概念及求法,证明：,3. 正交向量组的性质,4. 向量空间的正交基,5. 规范正交基,如，,（） 正交化：,（2） 求规范正交基的方法,步骤：,取 ，,（）单位化：,取,施密特正交化 过程,解：,取,先正交化.,再单位化，,得规范正交向量组如下：,1. 正交矩阵,（2）定理：,四、正交矩阵与正交变换,（1）定义：,注：,（3）性质：,正交变换保持向量的长度不变,若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,2. 正交变换,（1）定义：,（2）性质：,例2 判别下列矩阵是否为正交阵,解：,所以它不是正交矩阵,考察矩阵的第一列和第二列，,由于,所以它是正交矩阵,由于,解：,2 方阵的特征值与特征向量,注：,一、特征值与特征向量的概念,2. 特征方程与特征多项式,3. 特征值的性质,例1,求矩阵特征值与特征向量的步骤：,小结：,二、特征值和特征向量的性质,注：,10 属于不同特征值的特征向量是线性无关的,30 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言 的，一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征 向量不能属于不同的特征值,证:,再继续施行上述步骤 次，就得,（1）,（2）,例3 设A是 阶方阵，其特征多项式为：,解：,AT与A有相同的特征多项式，也有相同的特征值,1将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将 其单位化,小
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