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第二节 相似矩阵和矩阵对角化,本节目的：利用相似变换把一个矩阵化成对角矩阵，并且讨论矩阵可对角化的条件和相似变换阵的求解方法 。,相似矩阵的定义,定义3 已知矩阵 ， 是两个 阶方阵如果存在一个满秩矩阵 使得 则称 ， 相似，记作 相似关系满足以下性质： （1）自反性： ； （2）对称性： ； （3）传递性：,一些有用的定理,定理3 相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。 证明 ：因为 相似，所以存在可逆阵 使得,推论 如果 阶方阵 与对角矩阵 相似，则 ；也是的特征值。,若方阵 能与一个对角阵相似，则称 可对角化 方阵 可对角化的判定条件 定理4 阶方阵 可以与一个对角型矩阵 相似的充分必要条件是， 有 个线性无关的特征向量。,证明 假设存在可逆矩阵 ，使得 为对角阵 ， 设 ，则由 即,于是 可见 ，是 的特征值，向量 就是矩阵 关于特征值 的特征向量 反之，设 恰有 个特征值，并可对应 个特征向量 ，并且它们线性无关。 令 即是要找的相似变换。 定理4不仅给出了一个方阵可对角化的充要条件，而且也给出了求解相似变换阵的方法。,定理5 如果矩阵 的特征值 ，则与它们对应的特征向量 和 线性无关。 推论 若 阶方阵 有 个互异的特征值 则 可对角化，且 注意上述命题的逆命题不成立，例如单位阵,定理6 设 是 的 个互异的特征值， 是 的属于 的 个线性无关的特征向量， ，则 也线性无关。 定理6是说当 有多重特征值时，若每个特征值有足够多的线性无关的特征向量的话，则其也可以对角化。,定理7 设 是 的一个 重特征值，对应的特征向量线性无关的最大个数为 ，则 也就是说线性无关的特征向量的个数不超过其对应的特征值的重数。 定理8 阶矩阵 可对角化的充要条件是 的每个 重特征值 对应有 个相形无关的特征向量。即,例题,例1 设 试问 可否对角 化？若能，求出相应的矩阵 。 解：由 可得 的特征值为 （二重） 求解特征向量，分别求解,可得 对应的特征向量分别为 即 由三个线性无关的特征向量，从而由定理4， 可以对角化。 令,则有 若令 则也有,但是若令 则应有,例2 设 ，而,问 可否对角化？ 解 因为 即 是 的 重特征值。而由 知 ，即 的线性无关的特征向量的个数不超过 个，因此，由定理8知， 不可以对角化。,例3 设,（1）问 可否对角化？若能，求出相应的 ，使得 为对角阵。 （2）求 。 解 由,显然 由两个不同的特征值1，2，所以 可以对角化。 当 时，解方程组 解得其基础解系为 当 时，解方程组,解得其基础解系为 令 则有,（2）当 较大时，直接
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