差分与差分方程的概念.ppt

特征方程,特征根,解：,通解为:,课前练习,代入通解得所求特解：,10.6 差分与差分方程的概念,三、常系数线性差分方程解的结构,一、差分的概念,二、差分方程的概念,微,积,分,电,子,教,案,10.6 差分与差分方程的概念,微分方程,差分方程,区别,未知函数为连续型,未知函数为离散型,两者性质相近，差分方程在经济中应用更广泛，象统计某经济量，以天、日为单位。,研究函数 y=f(t) 在 t 时刻的变化速度问题.,若 y=f(t) 为连续函数, 在点 t 处的变化速度为,一、差分的概念,1、问题,若 y=f(t) 为离散函数,变化速度,差商,微商,差商：,差分,表示f(t)在t(整数)处变化速度的近似值。,设 y = f (x) ,记为yx ,其中 x (通常表示时间)的取值为离散的等间隔整数值: x =0,1,2,则 yx+1-yx称为函数 yx 在 x 处的差分, 也称一阶差分, 记为:,2、差分的定义,一、差分的概念,例1.求下列函数的差分：,解：,常数的差分为0,幂函数的差分次数降低1次,指数函数的差分是原指数函数的若干倍,一、差分的概念,解：,一、差分的概念,例2 求下列函数的差分,3、差分的四则运算法则,一、差分的概念,参照导数的四则运算法则学习,二阶差分: 差分yx在 x 处的差分称为 yx 在 x 处的二阶差分,记为2yx,类似地有:,高阶差分:二阶和二阶以上的差分统称为高阶差分.,4、高阶差分,一、差分的概念,解,一、差分的概念,例3 求,解：,一、差分的概念,例4,解：,（公式）,一、差分的概念,例5,引例：,已知电视机厂第 x 个月月初的库存量为Rx ，该月内生产、销售分别为m,n，则下月初库存量Rx+1为：,差分方程,二、差分方程的概念,定义1: 含有自变量 x 以及未知函数不同时期值的函数方程,称为差分方程。,未知函数下标的最大差值称为该差分方程的“阶”。,二阶差分方程,一阶差分方程,一阶差分方程,1、两种定义与阶,一般形式:,反映了未知函数不同时期值,二、差分方程的概念,定义2：含有未知函数差分的方程，称为差分方程。,如：,二阶差分方程,三阶差分方程,其中未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。,一阶差分方程,1、两种定义与阶,一般形式:,二、差分方程的概念,差分方程的两种形式可以相互转化,但 “阶数”可能会不等价。如：,二阶差分方程,转化为另一种形式：,即：,一阶差分方程,约定 以定义1为准，今后遇到第二种形式的差分方程要展开，化为第一种形式后再定它的阶数(经济领域中只讨论形如定义1型的差分方程),2、对定义的说明与约定,对定义的说明,二、差分方程的概念,解,例6 下列等式是差分方程的有( ).,二、差分方程的概念,解,例7 确定下列方程的阶,若将已知函数y= (x)代入差分方程，使得方程两边成为恒等式，则称此函数为差分方程的解.,3、解的定义,二、差分方程的概念,4、通解、特解与特注,通解:含有独立的任意常数,且常数个数与差分方程的阶数相同,这样的解称为差分方程的通解。,特解:不含有任意常数的解称为特解。(或在通解中给任意常数以确定的值而得到的解称为差分方程的特解), 差分方程解的重要性质： “时滞性”,差分方程中自变量超前或滞后相同的时间间隔，而方程结构不变，则由此得到的新方程与原方程有相同的解，换言之，新老方程为同解方程。,二、差分方程的概念,规定：标准差分方程中最小下标为x。,例如：,即：,注：标准化就是变量替换。,应将差分方程化成标准方程, 然后再求解。,如：,二、差分方程的概念, n阶常系数线性齐次差分方程,三、常系数线性差分方程解的结构,1、标准形式, n阶常系数线性非齐次差分方程,二阶常系数非齐次差分方程,一阶常系数非齐次差分方程,三阶线性非齐次差分方程,三阶线性齐次差分方程,(系数不是常数),三、常系数线性差分方程解的结构,定理1(叠加原理) 若y1(x),y2(x),yk(x) 是n阶线性齐次方程的k个特解，则它的线性组合 仍为的解。(其中C1,C2,Ck为k个任意常数),2、线性差分方程解的结构定理,齐次线性差分方程的通解结构：,(与线性微分方程类似),三、常系数线性差分方程解的结构,问题:,定理2(通解结构定理) 若y1(x)，y2(x)，yn(x) 是 n阶线性齐次差分方程的n个线性无关的特解, 则其通解为 (其中C1,C2,Cn为n个任意常数）,三、常系数线性差分方程解的结构,那么称这些函数在区间内线性相关； 否则称线性无关.,注：设 为定义在区间 内的 个函数如果存在 个不全为零的常数，使得当 在该区间内有恒等式成立,三、常系数线性差分方程解的结构,非齐次线性差分方程的通解结构：,定理3 设 是 阶常系数非齐次线性差分方程 的一个特解, 是与(2)对应的齐次方程(1)的通解, 那么 是 阶常系数非齐次线性差