《姜启源杭州》PPT课件.ppt

清华大学 姜启源 ,数学建模 在数学教学改革中的 意义和作用,现实生活中的数学 -数学建模简介 数学建模+计算机技术如虎添翼 -数学建模在社会发展中的重要性 一次参赛 终生受益 -全国大学生数学建模竞赛简介 数学建模在数学教学改革中的意义和 作用,现实生活中的数学 -数学建模简介,通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）,今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几个（小一些），还是少包几个（大一些）？,问题,圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆, 若分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v,V和 nv 哪个大?,引子 从包汤圆（饺子）说起,定性分析,V比 nv大多少?,定量分析,从包汤圆（饺子）说起,假设,1. 皮的厚度一样,2. 汤圆(饺子) 的形状一样,模型,应用,若100个汤圆（饺子）包1公斤馅, 则50个汤圆(饺子) 可以包 公斤馅,R 大皮 半径,V是 nv是 倍,1.4,r 小皮半径,数学模型 (Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling),对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,建立数学模型的全过程 （包括表述、求解、解释、检验等）,数学模型,数学建模,问 题,经试验，一盘录象带从头走到尾， 时间用了183分30秒，计数器读数 从0000变到6152。,在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为 4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？,要求,不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系。,思考,计数器读数是均匀增长的吗？,示例 录象机计数器的用途,观察,计数器读数增长越来越慢！,录象机计数器的工作原理,问题分析,主动轮匀速转动,模型假设,录象带的运动速度是常数 v ；,计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn；,录象带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；,空右轮盘半径记作 r ；,时间 t=0 时读数 n=0 .,建模目的,建立时间t与读数n之间的关系,（设v,k,w ,r为已知参数）,模型建立,建立t与n的函数关系有多种方法,1. 右轮盘转第 i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以,2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录象带厚度 乘以转过的长度，即,3. 考察t到t+dt录象带在 右轮盘缠绕的长度，有,模型建立,思考,1. 3种建模方法得到同一结果,但仔细推算会发现稍有差别，请解释。,2.模型中有待定参数,一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法,参数 估计,另一种确定参数的方法测试分析,将模型改记作,只需估计 a,b,理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可,实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合,现有一批测试数据：,用最小二乘法可得,模 型 检 验,应该另外测试一批数据检验模型：,模 型 应 用,回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分， 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目。,揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。,基本方法,机理分析,测试分析,根据对客观事物特性的认识， 找出反映内部机理的数量规律,将研究对象看作“黑箱”,通过对量测数据 的统计分析，找出与数据拟合最好的模型,机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习。建模主要指机理分析,二者结合,机理分析建立模型结构,测试分析确定模型参数,数学建模的基本方法,数学建模的全过程,现实对象的信息,数学模型,现实对象的解答,数学模型的解答,(归纳),(演绎),表述,求解,解释,验证,根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题,选择适当的数学方法求得数学模型的解答,将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象,用现实对象的信息检验得到的解答,实践,现实世界,数学世界,怎 样 学 习 数 学 建 模,数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术,技术大致有章可循,艺术无法归纳成普遍适用的准则,想象力,洞察力,判断力,学习、分析、评价、改进别人作过的模型,亲自动手，认真作几个实际题目,创新意识,数学建模+计算机技术 如虎添翼 -数学建模在社会发展 中的重要性,数 学 建 模 的 重 要 意 义,数学建模和数学有着同样悠久的历史,两千多年以前创立的欧几里德几何，十七世纪发现的牛顿万有引力定律，都是科学发展史上数学建模的成功范例,近几十年来数学建模的重要性越来越突出,数 学 建 模 的 重 要 意 义,计算机技术和数学软件的迅速发展，为数学建模的应用提供了强有力的工具;,数学迅速进入一些诸如经济、生态、人口、地质等领域，为数学建模开拓了许多新的处女地.,“数学是一种关键的,普遍的,可应用的技术”,数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争具有重要意义”,教育必须反映并满足社会发展的需求,数 学 建 模 的 重 要 意 义,在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；,在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；,数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。,数学建模进入大学课堂,20世纪6070年代进入西方国家的大学（数学建模教材较集中地出现在70年代）。,20世纪80年代初开始进入我国大学；1987年出版第1本教材（数学模型，姜启源编，高教社）；80年代末估计3040所学校开课（数学系，讲座）。,1985年美国大学生数学建模竞赛开始举办， 1989年我国大学生开始