《排列与组合》PPT课件.ppt

组合数学,钱 江 北邮理学院,组合数学就是按照一定的规则来安排一些离散个体的有关问题。其内容包括：,1、计数与枚举,2、容斥原理和鸽巢原理,3、组合设计,4、组合算法和组合优化,5、图论,排列、组合、母函数、递推关系、容斥原理、Burnside引理、Polya定理,第一章 排列与组合,1.1 排列与组合 1.2 排列组合的生成算法 1.3 组合意义的解释与应用举例,1.1 排列与组合,加法法则和乘法法则 一一对应 排列、组合 圆周排列 可重排列 可重组合 不相邻的组合,1. 加法法则与乘法法则,加法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n个，则具有性质A或B的事件有m+n个。,若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。,集合论语言：,基本假设：性质A和性质B是无关的两类。,例1 某班选修企业管理的有18人，不选的有10人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。,例2 假设要从北京坐飞机或者火车或者客车到上海。北京每天到达上海的飞机有 5 个航班，火车有 7 趟，客车有 10 趟， 则每天由北京到达上海的旅行方式有 5 + 7 + 10 = 22 种。,乘法法则：设具有性质A的事件有m个，具有性质B的事件有n个，则具有性质A和B的事件有mn个。,若 |A| = m , |B| = n , AB = (a,b) | aA,bB , 则 | AB | = mn 。,集合论语言：,例3 从A到B有三条道路，从B到C有两条道路，则从A经B到C有 32 = 6 条道路。,加法法则：得到事件通过两种不同的方法。,乘法法则：得到事件通过两个步骤。,例4 某种样式的运动服的着色由底色和装饰条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、黄，条纹色可选黑、白，则共有 42 = 8 种着色方案。,若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、黄四种颜色的话，则方案数就不是 4 4 = 16， 而只有 4 3 = 12 种。,例5 (1) 求小于10000的含1的正整数的个数； (2) 求小于10000的含0的正整数的个数。,(1) 小于10000的不含1的正整数可看做4位数，但 0000除外. 故有999916560个。 含1的有：99996560=3439个，,另：全部4位数有104个，不含1的四位数有94个， 含1的4位数为两个的差：10494= 3439个。,99997380=2619.,(2)“含0”和“含1”不可直接套用。 0019含1但不含0。,不含0的1位数有9个，2位数有92个，3位数有93个，4位数有94个。,不含0小于10000的正整数有,含0小于10000的正整数有,(1) 43560；,(2) 6318,个位数有5种取法，千位数有8种取法，百位，十位各有8，7种取法。58872240。,例6 (1) n=73*112*134，求除尽n的数的个数；,(2) n=73*142，求除尽n的数的个数；,例7 在1000和9999之间有多少每位上的数字均不同的奇数？,例8 由a,b,c,d,e这5个字符，从中取6个构成字符串，要求 (1) 第1，6个字符必为子音字符b，c，d；(2) 每个字符串必有两个母音字符a或e，且两个母音字符不相邻；(3) 相邻的两个子音字符必不相同。求满足这样的条件的字符串的个数。,由条件(1)，两个母音字符的位置不能在1，6， 又由条件(2)，位置只能是(2,4),(2,5)和(3,5)之一。 对每种格式，母音22，相邻子音32，其他两个 子音33。因此答案为 3（223233）=648。,如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非是建立了将A中元与1,n元一一对应的关系。,在组合计数时往往借助于一一对应实现模型转换。,比如要对A集合计数，但直接计数有困难，于是可 设法构造一易于计数的B，使得A与B一一对应。,2. 一一对应,“一一对应”概念是一个在计数中极为基本的概 念。一一对应既是单射又是满射。,一种常见的思路是按轮计场，费事。 另一种思路是淘汰的选手与比赛(按场计)集一一对应。63场比赛。,例9 在64名选手之间进行淘汰赛(即一场的比赛结果，失败者退出比赛),最后产生一名冠军，问要举行几场比赛？,可以先计算对角线的个数，然后计算交点，但是存在在多边形内无交点的情形，比较复杂。,可以考虑对应关系：多边形内交点to多边形四个顶点。,可以证明这是一一映射（映射，单且满）。,例10 设凸n边形的任意三条对角线不共点，求对角线在多边形内交点的个数。,排列的典型例子是取球模型：从n个不同的球中,取出r个,放入r个不同的盒子里，每盒1个。 第1个盒子有n种选择,第2个有n-1种选择，第r个有n-r+1种选择。故由乘法法则有,3. 排列、组合,定义：从 n 个不同的元素中，取 r 个不重复的元素，按次序排列，称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的个数用 P(n,r) 表示。 当 r = n 时称为全排列。,P(n,r) = n(n-1)(n-r+1) = n!/(n-r)!,P(n,n)=n!,例11 由5种颜色的星状物，20种不同的花排列成如下图案：两边是星状物，中间是3朵花，问共有多少种这样的图案？,两边是星状物，从五种颜色的星状物中取两个的排列的排列数是 P(5,2)=20。,20种不同的花取3种排列的排列数是,根据乘法法则得图案数为,P(20,3)=20 19 18=6840。,20 6840=136800。,接上例，若A单位的2人排在队伍两端，B单位的3人不能相邻，问有多少种不同的排列方案？,B单位3人按一个元素参加排列，P(8,8)P(3,3)。,A单位的人排法固定后A*A*A*A*A*A*A，B单位第一人有6种选择，第二人有5种，第三人有4种，因此答案为P(7,7)654。,例12 A单位有7名代表，B单位有3位代表，排成 一列合影要求B单位的3人排在一起，问有多少种 不同的排列方案。,例13 试求由1,3,5,7组成的所有不重复出现的整数的总和。,这样的整数可以是1位数,2位数,3位数,4位数，若设,是 i 位数的总和，则,S=S1+S2+S3+S4,S1=1+3+5+7=16；,于是我们只需要计算Si即可。,S4=6(1+3+5+7)1000+6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10 +6(1+3+5+7)=96000+9600+960+96=106656；,S=16+528+10656+106656=117856。,S2=3(1+3+5+7)10+3(1+3+5+7)= 480+48=528；,S3=6(1+3+5+7)100+6(1+3+5+7)10+6(1+3+5+7) =9600+960+96=10656；,组合的个数用 C(n,r) 表示。,或者用 表示。,定义： 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从 n 个中取 r 个的无重组合。,C(n,r)=0，若n r。,故有,C(n,r)r!=P(n,r)，,C(n,r)=P(n,r)/r!，,从n个不同的球中,取出r个,放入r个相同的盒子里,每盒1个，这是从n个中取r个的组合的模型。 若放入盒子后再将盒子标号区别，则又回到排列模型。每一个组合可有r!个标号方案。,(2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2)=10+21+45=76；,(1) 57+510+710=155;,(3) 155+76=231=C(5+7+10,2)。,例14 有5本不同的日文书，7本不同的英文书，10本不同的中文书。 (1) 取2本不同文字的书； (2) 取2本相同文字的书； (3) 任取两本书。,例15 甲和乙两单位共11个成员，其中甲单位7人，乙单位4人，拟从中组成一个5人小组： (1) 要求包含乙单位恰好2人； (2) 要求至少包含乙单位2人； (3) 要求乙单位某一人与甲单位特定一人不能同时在这个小组。 试求各有多少种方案。,(1) C(4,2)C(7,3)；,(2) C(4,2)C(7,3)+C(4,3)C(7,2)+C(4,4)C(7,1)；,(3) C(10,5)+C(9,4)，或C (11,5)-C(9,3)。,将1,300分成3类：,A=i|i1(mod 3)=1,4,7,298, B=i|i2(mod 3)=2,5,8,299, C=i|i3(mod 3)=3,6,9,300。,例16 从1,300中取3个不同的数，使这3个数的和能被3整除，有多少种方案？,要满足条件，有四种情形：,1. 3个数同属于A; 2. 3个数同属于B; 3. 3个数同属于C; 4. A,B,C各取一数。,故共有,3C(100,3)+1003=485100+1000000=1485100。,解1：a1选择其同伴有7种可能， 选定后,余下6人中某一人选择其同伴只有5种可能， 余下4人，其中某1人有3种选择可能， 在余下的2人只好配成一对，无法选择， 故共有,N=753=105。,例17 假定有a1,a2,a3,a4,a5, a6, a7,a8这8位成员，两两配对分成4组，试问有多少种方案？,解2：分成4组。第一组取法为C(8,2)， 余下6人，第二组取法为C(6,2)， 第三组取法为C(4,2)， 剩下为第四组。 但4组的顺序是重复的，因此答案为 C(8,2)C(6,2)C(4,2)/P(4,4)=105。,解3：8人全排列有P(8,8)。分成4组。 每组中2人交换是重复的，重复数为2222， 另外4组的顺序也是重复的，重复数为P(4,4)， 因此答案为 P(8,8)/(2222P(4,4)=105。,一个进站方案可以表示成：00011001010100， 其中“0”表示车，“1”表示间隔。 其中“0”是不同元，“1”是相同元。 给“1”这6个入口只用5个间隔。 任意进站方案可表示成上面14个元素的一个排列。,例18 某广场有6个入口，每个入口每次只能通过一辆汽车，现有9辆车要开进广场，有多少种入场方案？,解2：在14个元的排列中先确定“1”的位置，有C(14,5)种选择， 再确定车的位置，有9！种选择。 故 C(14,5)9! 即为所求。,解3：实际上相当于14个位置中选取9辆汽车的排列，即为 P(14,9)。,解1：标号可产生5!个14个元的全排列。 若设x为所求方案，则 x 5!=14!。 故 x=14!/5!=726485760。,注意到，每个交点只有两个对角线通过，对应了4个 顶点所组成的一个组合，不同的交点对应的组合也 不相同。 故共有C(n,4)个交点。,例19 一个凸 n 边形，它的任何3条对角线都不交于同一点，问它的所有对角线在凸 n 边形内部有多少个交点。,定义：从 n 个不同的数中不重复的取出取出 r 个沿一圆周排列，称为一个圆周排列。 所有的r-圆周排列数记为 Q(n,r)。,注意圆周排列与排列的不同之处在于圆周排列首尾相邻。 如a、b、c、d的4种不同排列 abcd, dabc, cdab, bcda, 在圆周排列中都是一个排列。,4. 圆周排列,以4个元素为例,Q(n,r)=P(n,r)/r , 2rn Q(n,n)=(n-1)!,从 n 个中取 r 个的圆周排列的排列数为：,若无要求，则为Q(8,8)；,若要求蓝色珠子一起，则为Q(6,6)P(3,3)；,若要求蓝色珠子不相邻，则为Q(5,5)543。,例20 5颗红珠子，3颗蓝珠子装在圆板的四周，试问有多少种方案？若要求蓝色珠子不相邻，又有多少种排列方案？蓝色珠子在一起呢？,例21 5对夫妇出席一个宴会，围一圆桌坐下，试问 有几种不同的坐法？要求每对夫妇相邻又如何？,若无限制，则为Q(10,10)；,若要求相邻，则为Q(5,5)22222。,5. 可重排列,定义：多重集是指元素可以多次出现的集合，即元素可以重复。我们把某个元素 ai 出现的次数ni(ni=0,1,2,)叫做该元素的重复数。 通常把含有 k 种不同元素的多重集 S 记作,定理：设多重集 则 S 的r-(可重)排列数是 kr。,推论：设多重集 且对一切的 i=1,2,k，有nir，则 S 的r-(可重)排列数是 kr。,所求的标志数是多重集2红旗，3黄旗的排列 数，故 N=5!/(2!3!)=10。,例23 用两面红旗，三面黄旗依次悬挂在一根旗杆上，问可以组成多少种不同的标志?,例22 求不多于4位数的二进制数的个数。,设,则 S 的 r-排列数 N 满足：,(1) 若r n, 则 N = 0;,(2) 若r = n, 则 N =,(3) 若r n ,且对所有的i, , 则,(4) 若r n ,且存在i, nir, 则对 N 没有一般的求解公式，具体解法以后再说。,定理：从 中取 r 个作可重的组合，其个数为C(k+r-1,r)。,6. 可重组合,r个相同的球 / 001001100 / / k-1个相同的盒壁,而后一问题又可转换为 r 个相同的球与 k-1 个相同 的盒壁的排列的问题。,则所求计数为 C(k+r-1,r)。,这个计数问题相当于 r 个相同的球放入 k 个不同的盒子里，个数没有限制的计数。,另证：,不妨假设k个不同元素为1,2,k，设某一个 r 可重组合为b1,b2,br。由于允许重复，可以假设,这相当于从1到