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文档简介

定积分的概念,求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方法,(2)取近似求和:任取xixi-1, xi，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi)而宽为Dx的小矩形面积 f(xi)Dx近似之。,(3)取极限:，所求曲边梯形的面积S为,取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：,xi,xi+1,xi,(1)分割:在区间0,1上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: 每个小区间宽度x,一、定积分的定义,如果当n时，S 的无限接近某个常数，,这个常数为函数f(x)在区间a, b上的定积分，记作,从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四步曲”: 分割-近似代替-求和-取极限得到解决.,定积分的定义：,定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数， f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量， a 叫做积分下限， b 叫做积分上限， a, b 叫做积分区间。,按定积分的定义，有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ，直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t)，则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义：,1,3定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有,4规定：,注：,(2)定积分的几何意义：,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时，由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方，,=-S,上述曲边梯形面积的负值。,定积分的几何意义：,=-S,探究: 根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?,三: 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,三: 定积分的基本性质,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,性质 3 不论a，b，c的相对位置如何都有,例1：利用定积分的定义,计算 的值.,例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解：,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,例3：,解：,x,y,f(x)=sinx,1,-1,利用定积分的几何意义，判断下列定积分 值的正、负号。,利用定积分的几何意义，说明下列各式。 成立：,1）,2）.,1）,2）.,练习：,试用定积分表示下列
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