等腰三角形的性质及其判定.ppt

13.1.1等腰三角形,加油亲爱的孩子们！ 老师像妈妈一样爱你们，你们是最懂事的孩子！,下载图片,共同特点,等腰三角形,你知道什么是等腰三角形吗?,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。,相等的两条边AB和AC叫做腰; 另一条边BC叫做底边; 两腰所夹的角BAC叫做顶角; 底边与腰的夹角ABC和ACB叫做底角.,如图，ABC中,AB=AC，那么ABC就 是等腰三角形。,只有等腰三角形才有底角和底边.,如图:在三角形ABC中，AB=AC，且AD=BD，请大家数一数，这个图形中一共有多少个等腰三角形？,ABC（AB=AC），ADB（AD=BD）,若将条件改为AB=AC ,AD=BD=BC，则有多少个等腰三角形？,ABC（AB=AC） ADB（AD=BD） BDC （BD=BC）,心灵手巧,材料: 剪刀、一张矩形纸,方法：（1）先将矩形纸按图中虚线对折； （2）剪去阴影部分；,（3）将剩余部分展开。,大胆猜测,请同学们拿出你们刚剪好的等腰三角形 纸片,它除了两腰相等以外,你还能发 现什么?,A,B,C,如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,我们就说这个图形关于这条直线对称,那么这个图形就叫轴对称图形,这条直线叫对称轴.互相重合的点是对应点,叫做对称点.,返回,设问：你发现了什么现象，,猜一猜,猜想等腰ABC有哪些性质？,角: B = C BAD=CDA ADC= ADB=900,边: BD = CD, 两个底角相等 AD为顶角BAC的平分线 AD为底边BC上的高 AD为底边BC上的中线,结论: 等腰三角形是轴对称图形；,等腰三角形性质 性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）； 性质2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（可简记为“三线合一”）,证明：,作顶角的平分线AD. 在BAD和CAD中，,AB=AC ( 已知 ), 1= 2 ( 辅助线作法 )，,AD=AD (公共边) , BAD CAD (SAS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,1,2,证明：等腰三角形的两个底角相等,作顶角的平分线,D,证明：,作底边中线AD. 在BAD和CAD中，,AB=AC ( 已知 ),BD=CD ( 辅助线作法 )，,AD=AD (公共边) , BAD CAD (SSS)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：等腰三角形的两个底角相等,作底边中线,证明：,作底边高线AD.,AB=AC ( 已知 ),AD=AD (公共边) , Rt BAD Rt CAD (HL)., B= C (全等三角形的对应角相等).,已知： ABC中，AB=AC. 求证： B= C.,D,证明：等腰三角形的两个底角相等,作底边的高线,在RtBAD和RtCAD中，,等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）,例1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且B=80 ，则C= _度，A=_度？,AB=AC（已知） B=C（等边对等角） B=80 （已知） C=80 又A+B+C=180 （三角形内角和为180 ） A=180 BC A=20,等腰三角形的性质 1 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角） 2等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线和底边上的高互相重合（等腰三角形三线合一）,操练1 在三角形ABC中，已知AB=AC，且 A=50 ，则B=度，C=度？,AB=AC（已知） B=C（等边对等角）又A+B+C=180 （三角形内角和为180 ） A=50 （已知） B=65 C=65,等腰三角形的性质定理,等腰三角形的两个底角相等,（简写成“等边对等角”）,等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边.,等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合.,“三线合一”,练习,1.判断下列语句是否正确。,（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合。（ ） （2）有一个角是60的等腰三角形，其它两个 内角也为60. （ ） （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形 . （ ）,3等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60，则这个等腰三角形的顶角为（ ） A30 B150 C30或150 D120,1ABC中，AB=AC，A=70，则B=_,2等腰三角形一底角的外角为105，那么它的顶角为_度,C,55,30,2. 在三角形ABC中，AB=AC，且AD BC，已知BD=2cm,求DC=_cm, BC=_cm？, AB=AC ,AD BC（已知） BD=CD（等腰三角形的高与底边上的中线重合） 即（等腰三角形三线合一） BD=2cm（已知） CD=2cm,3.已知AD BC,试找出等腰三角形ABC （AB=AC）中，存在相等关系的量。,B=C 1=2 BDA=CDA=90 BD=CD,1（2010江西）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则下列四个数中，第三条边的长是( ) A 8 B 7 C 4 D 3,2 (2010宁波) 如图，在ABC中，AB=AC，A=36，BD、CE分别是ABC、BCD的角平分线， 则图中的等腰三角形有（ ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个,A,B,等腰三角形一个底角为70,它的顶角为_.,等腰三角形一个角为70,它的另外两个角为 _.,等腰三角形一个角为110,它的另外两个角为_., 顶角+2底角=180, 顶角=1802底角, 底角=（180顶角）2,0顶角180 0底角90,结论:在等腰三角形中,40 ,35 ，35 ,70,40或55,55,4. 根据等腰三角形的性质,在ABC中， AB=AC时，,(1) ADBC，_ = _，_= _.,(2) AD是中线，_ ，_ =_.,(3) AD是角平分线，_ _ ，_ =_.,BAD,CAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BD,BAD,BC,AD,CD,5. 如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，D为BC的中点，则点D到AB，AC的距离相等。请说明理由。,解：相等，理由如下： 连接AD 在ABC中， AB=AC，D为C中点 AD平分BAC DEAB，DFAC DE=DF,通过本节课的学习，你有哪些收获？,性质1：等边对等角,性质2：“三线合一”,常用来证明两角相等，求等腰三角形各角的度数,研究等腰三角形的有关问题时“三线”是常用的辅助线,等 腰 三 角 形,把“等腰三角形的两个底角相等”改写成“如果-那么-”形式。,逆命题: 如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.,如果一个三角形是等腰三角形,那么这个三角形的两个底角相等.,它是真命题吗?,探究新知, 操作一,做一做,你发现了什么结论？其他同学的结果与你的相同吗？, 操作二,量一量，线段AB与AC的长度。,画ABC.使BC30,AB=AC,怎样用数学推理进行证明呢？,A,B,C,D,已知：如图,在ABC中，B=C。 求证：AB=AC,你还有其他证法吗?,证明:,作BAC的平分线AD,则1=2,在BAD和CAD中,如果一个三角形有两个角相等,那么这两 个角所对的边也相等,B=C,1=2,AD=AD (公共边), AB= AC (全等三角形的对应边相等), BAD CAD (AAS),已知：在 ABC中，B=C,求证：AB=AC,证明：,作BC边上的高AD,在 BAD和C CAD中，,B=C, BAD CAD,AB=AC（全等三角形的对应边 相等）,A,B,C,D,ADB=ADC=90 ,AD=AD,（AAS）,已知： ABC中，B=C,求证：AB=AC,证明：,作BC的中线AD,在 BAD和 CAD中，,B=C BD=CD AD=AD, BAD和 CAD不一定全等,AB和AC不一定相等,A,B,C,D,（SSA）,如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,几何语言： B =C (已知) AB=AC(等角对等边),等腰三角形的判定定理：,(简写成“等角对等边”)。,注意：在同一个三角形中应用哟！,如图,下列推理正确吗?,（等角对等边）,（等角对等边）,错，因为都不是在同一个三角形中。,辩一辩,巩固练习：下列两个图形是否是等腰三角形？,试一试,我能行,反馈检测,我来告诉你,证明：,ADBC， 1=B（两直线平行， 同位角相等） 2=C（两直线平行， 内错角相等） 1=2， B=C， AB=AC（等边对等角）。,练习,1、如图，A=36，DBC=36，C=72。分别计算1、2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。,2、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？,3、如图，AC和BD相交于点O，且ABDC，OA=OB。 求证：OC=OD。,1=72，2=36,等腰三角形有：ABC，ABD， BCD。,例：如图,上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得NAC=40NBC=80求从B处到灯塔C的距离,解：NBC=A+C C=80- 40= 40 C = A BA=BC（等角对等边） AB=20（12-10）=40 BC=40 答：B处到达灯塔C40海里,小试牛刀,大显身手,如图，在ABC中，AB=AC，ABC和ACB的平分线交于点O.过O作EFBC交AB于E，交AC于F. (1)、请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系；,2ABO 3ACO,若ABAC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？(1)中结论还成立吗？,解：,EF=BE+CF,理由：, EFBC,12 34, BO、CO分别平分ABC、ACB,1ABO 4ACO,BEOE CF=OF, EF=EO+FO,EFBE+CF,2、已知：如图，AD BC，BD平分ABC。求证：AB=