角平分线的性质(5).ppt

13.5.3 角平分线的性质,创设情境、导入新课,在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？,复习提问,1、角平分线的概念,一条射线,把一个角,分成两个相等的角，,这条射线叫做这个角的平分线。,复习提问,2、点到直线距离:,从直线外一点,到这条直线的垂线段,的长度，,叫做点到直线的距离。,3、尺规作角的平分线,A,画法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,分别以，为圆心大于 1/2 的长为半径作弧两弧在的内部交于,作射线,射线即为所求,复习提问,A,O,E,B,C,P,D,作 AOB的角平分线OC,在OC上任意取一点P，再过P点分别作OA、OB的垂线段，垂足分别为点D、E，那么PD=PE吗？,结论：PD=PE,猜想：,探究1,角平分线的性质,你能论证你的猜想吗？,已知：如图，OC是AOB的平分线，点P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E。,求证：PD=PE,证明： PDOA，PEOB（已知） PDO=PEO=90（垂直的定义）,在PDO和PEO中, PD=PE（全等三角形的对应边相等）, PDO= PEO AOC= BOC OP=OP, PDO PEO（AAS）,角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,角平分线的性质,定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等,用符号语言表示为：,A,O,B,P,1,2, 1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE (角的平分线上的点到角的两边的距离相等),推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,如图，在RtABC 中，,角平分线的性质，为我们证明两条线段相等 又提供了新的方法与途径。,A,B,C,BD是角平分线 ，,DEAB，垂足为E，,E,DE与DC 相等吗？,答：,DE=DC。, BD是ABC的平分线,且DEBA，, DE=DC。,为什么？,DCBC，, 如图，AD平分BAC（已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）,判断：,练习1, 如图， DCAC，DBAB （已知）, = ，( ),在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,BD CD,（）, AD平分BAC, DCAC，DBAB （已知）, = ，（ ）,在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,不必再证全等,如图， OC是AOB的平分线， 又 _ PD=PE ( ),PDOA，PEOB,角的平分线上的点 到角的两边的距离相等,练习2,1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等,提示：作AOB的平分线，交直线l 于P就是所求的点,练习3,P,练习4： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,P,在OAB中，OE是它的角平分线，且EA=EB，EC、ED分别垂直OA，OB，垂足为C，D. 求证：AC=BD.,例题讲解,练习5,在ABC中， C=90 ，AD为BAC的平分线，DEAB，BC7，DE3. 求BD的长。,如图，在ABC中，C=90 AD是BAC的平分线，DEAB于E，F在AC上，BD=DF； 求证：CF=EB,巩固提高,任意做一个三角形，并作出三个角的角平分线，在观察他们有什么关系？,三角形的三条角平分线交于一点。,探究2,补充例 ：已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上 PD=PE （在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、 CA的距离相等,A,B,C,M,N,P,怎样找三角形内到三角形三边距离相等的点？,在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？,您现在可以解决了吗？,补充例：如图，的的外角的平分线与的外角的平分线相交于点求证：点到三边，所在直线的距离相等,F,G,H,更上一层楼！,拓展与延伸,直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,P1,P2,P3,P4,l1,l2,l3,这节课我们学习了哪些知识？,小 结,1、角平分线的定义，点到直线的距离。 2、“作已知角的平分线”的尺规作图,3、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。, OC是AOB的平分线, 又 PDOA,PEOB PD=PE,几何语言:,4、三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三角形三边的距离相等,，,3 . 如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= 。,60,BF,4 如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= 。,角的平分线,6cm,5.