解析函数与调和函数.ppt

1,2.4 解析函数,若f(z)在 不解析，则称该点为f(z)的奇点。,重点！,1、定义： 如果函数f(z)不仅在 处可导，而且在 的某个邻域内任意点可导，则称f(z)在 处解析.,如果函数在区域D内任意点解析，则称f(z)在区域D内解析。,2,(在一个点的可导性是一个局部概念，而解析性是 一个整体概念),注： 1） f(z)在某点解析，也就是指f(z)在包含该点的某邻域内解析。,2）f(z)在闭区域 上解析，也就是指f(z)在包含 的某邻域内解析。,(1) w=f (z) 在 D 内解析 在D内可导。 (2) 函数f (z)在 z0 点可导，未必在z0解析。,3,例 讨论函数的解析性 1）f(x)= 的解析性 2）f(x)= 的解析性,4,2、函数解析的充要条件 定理2.9 函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是：u,v在D内可微，且满足柯西黎曼方程。,例2.19 讨论下列函数的解析性 1）f(z)=2x(1-y)+i(x2-y2+2y) 2) f(z)= 3) f(z)=zRe(z)=(x+iy)x,问题 如何判断函数的解析性呢？,记忆,5,6,7,例2.20 证明若函数f(z)在某区域内任意点均解析且导数为零，则该函数在此区域上为常数。,证明：设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),8,3、初等函数的解析性,定理1 设w=f (z)及w=g(z)是区域D内的解析函数， 则 f (z)g(z)，f (z)g(z) 及 f (z) g(z) (g (z)0时) 均是D内的解析函数。,定理 2 设 w=f (h) 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z) 在 z 平面上的区域 D 内解析, h=g(z)的函数值 集合 G，则复合函数w=f g(z)在D内处处解析。,9,40 三角函数和双曲函数在其定义域内解析，反三角函数和反双曲函数要具体讨论。,30 幂函数 :,1) 为正整数和零时， 在整个复平面解析。,2）为负整数时，在除原点外整个复平面解析。,3）为既约分数、无理数、复数时，在除去原点和负实轴外的复平面解析。,10 指数函数ez在整个复平面上解析。,20 对数函数Lnz的主值及各分支函数在除去原点和负实轴外处处解析。,10,2.5 调和函数,调和函数：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程： ，则称h(x,y)其为D内的调和函数。,11,共轭调和函数 设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它们满足柯西黎曼方程，则称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。,定理,上面定理说明：,12,注：一般地，若v为u在D内的共轭调和函数， 则-u为v在D内的共轭调和函数， u是-v的共轭调和函数,设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),则f(z)在D内解析,在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数,f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析,f(z)=-v(x,y)+iu(x,y)在区域D内亦解析,13,现在研究反过来的问题：,14,三、已知实部或虚部求解析函数表达式 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是解析函数,1、方法一：,例 已知解析函数f(z)的实部 求其虚部v.,对于已知v，求u的情况，可采取同样的方法。,15,例2.22 已知下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv 1) u=shxsiny 2)v=x2-y2+2y,16,17,公式不用强记！可如下推出：,18,类似地，,然后两端积分得，,19,例 2.23 已知调和函数u(x,y)= 求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。,20,例 2.24 已知f(z)的虚部为 v(x,y)= 求解析函数f(z)=u+iv，且f(0)=0.,21,四、本章总结 本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、调和函数的概念，给出了各自的充要条件。 要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数和调和函数。,五、作业： 2.4.7 a . d 2.4.9 b 2.4.13. c f 2.5.5 2.5