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,第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,无穷小与无穷大,当,一、 无穷小,定义1 . 若,时, 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,说明:,除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,因为,当,时,显然 C 只能是 0 !,C,C,时, 函数,(或 ),则称函数,为,定义1. 若,(或 ),则,时的无穷小 .,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其他变化过程类似可证 .,二、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足不等式,的 x , 总有,则称函数,当,时为无穷大,使对,若在定义中将 式改为,则记作,(正数 X ) ,记作,总存在,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !,例如, 函数,但,不是无穷大 !,例 . 证明,证: 任给正数 M ,要使,即,只要取,则对满足,的一切 x , 有,所以,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,铅直渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th1,3. 无穷小与无穷大的关系,Th2,思考与练习,P42 题1 , *3,P42 题*
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