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1,3.1.2 空间向量的数乘运算,/,2,1.理解向量数乘运算的含义及运算律,能够进行向量的数乘运 算. 2.掌握向量共线与共面定理,能运用定理证明一些几何问题.,/,3,课 前 热 身 (学生用书P63),4,1.与平面向量一样,实数与空间向量a的乘积a仍然是一个 _,称为_. 当0时,a与a方向_; 当0时,a与a方向_; 当=0时,a是一个_. a的长度是a的长度的_倍.,向量,向量的数乘运算,相同,相反,0,|,5,2.数乘运算律: 分配律:_;_. 结合律:(a)=_. 3.空间向量共线的充要条件是:对空间任意两个向量a、 b(b0),ab的充要条件是_. 4.空间任意两个向量都_.平行于同一平面的向量 叫做_.,(a+b)=a+b,(+)a=a+a,()a,a=b,共面,共面向量,1.正确应用共线向量及共线向量定理 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样,当我们说a、b共线时,表示a、b两条有向线段所在直线既可能是同一直线,也可能是平行直线;当我们说ab时,也具有同样的意义. (2)用共线向量定理证明两直线平行是常用方法,但是要注意,向量平行与直线平行是有区别的,直线平行不包括共线的情况.如果应用共线向量定理判断a、b所在的直线平行,还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上.,7,8,2.共面向量定理的理解 (1)空间一点P位于平面MAB内的充分必要条件是存在有序实 数对(x,y),使 满足这个关系式的点P都在 平面MAB内;反之,平面MAB内的任一点P都满足这个关系式. 这个充要条件常用以证明四点共面.,9,(2)共面向量的充要条件给出了平面的向量表示式,说明任意 一个平面可以由两个不共线的平面向量表示出来,它既是判 断三个向量是否共面的依据,又是已知共面条件的另一种形 式,可以借此已知共面条件转化为向量式,以方便向量运算.另 外,在许多情况下,可以用“若存在有序实数组(x,y,z)使得对于 空间任意一点O,有 且x+y+z=1成立, 则P、A、B、C四点共面作为判定空间上四个点共面的依据.,10,题型一 空间向量的概念 例1:给出以下命题: 用分别在两条异面直线上的两条有向线段表示两个向量, 则这两个向量一定不共面; 已知空间四边形ABCD,则由四条线段AB、BC、CD、DA 分别确定的四个向量之和为零向量; 若三个向量共面,则这三个向量的起点和终点一定共面.,11,其中正确命题的序号是_. 解析:在空间,用有向线段表示的向量仍然是自由向量,而任意 两个向量总是共面向量,故命题错误;空间四边形的四条边 确定的四条线段中每条线段都可以确定两个方向相反的向量, 当它们不是首尾相接时,这四个向量的和就不是零向量,故命 题错误;命题就是空间共面向量定理,所以是正确的;命题 也是错误的,向量的共面与点的共面是不同的两个概念,若 其中两个向量是平行向量,12,第三个向量与其中一个向量有相同的起点,则这三个向量一 定是共面向量,但这三个向量的起点与终点却可以不共面.,13,变式训练1:下列说法正确的是( ) A.以三个向量为三条棱一定可以作成一个平行六面体,答案:B,14,题型二 空间向量的数乘运算,15,16,17,18,19,20,题型三 共线问题,21,22,规律技巧:(1)判定两向量共线就是找x使a=xb,要充分运用空 间向量运算法则结合空间图形,化简得出a=xb,从而得出ab. (2)要证明空间图形中的两直线平行可以先证明两直线所在的 向量平行,然后观察图形找出在一直线上有一点不在另一直 线上,则两直线平行.,23,变式训练3:射线AB、AC、AD不共面,连接BC、CD、DB,取 AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H,如图,试判断四边形 EFGH的形状,并用向量证明.,24,25,题型四 共面问题 例4:如右图,两个全等的正 方形ABCD、ABEF,在其对角 线AE、BD上(不含端点)分 别取点M、N,使AM=DN.求 证:MN平面BCE. 分析:可将直线与平面的平行转化成向量的共面,然后结合线 面平行的判定定理证明.,26,27,规律技巧:将要证的直线与平面平行的问题转化成向量共面 的问题,从而使繁琐地几何证明问题巧妙地转化成向量的运 算,体现了向量良好的工具性.,28,变式训练4:如右图,ABCD-ABCD中,点E是上底面 ABCD的中心, 求下列各式中的x、y、z的值:,29,30,技 能 演 练 (学生用书P65),31,基础强化 1.满足下列条件,能说明空间不重合的三点A、B、C共线的 是( ),答案:C,32,2.下列命题中正确的是( ) A.若a与b共线,b与c共线,则a与c共线 B.向量a、b、c共面,即它们所在的直线共面 C.零向量没有确定的方向 D.若ab,则存在唯一的实数,使a=b 解析:当b=0时,a与c不一定共线,所以A错.由共面向量的定义知,B错.当a与b是非零向量时,D正确.但命题中没有非零向量这个条件,所以D错. 答案:C,33,3.下列条件中使点M与点A、B、C一定共面的是( ),答案:C,34,4.下列结论中,正确的个数是( ) 若a、b、c共面,则存在实数x、y,使a=xb+yc 若a、b、c不共面,则不存在实数x、y,使a=xb+yc 若a、b、c共面,b、c不共线,则存在实数x、y,使a=xb+yc 若a=xb+yc,则a、b、c共面 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:正确,错误. 答案:D,35,答案:A,36,37,38,7.向量a与b不共线,存在惟一一对非零实数m、n,使 c=m