实二次型及其标准形.ppt

作业讲评,一. 2.,若是A的特征值, 则,是A*的特征值.,二.1.,六. 设A2 3A + 2E = 0, 证明A的特征值只能取1或2,证明: 若是A的特征值, 则2 - 3 + 2是A2 -3A +2E的特征值, 即2 - 3 + 2是零矩阵O的特征值,从而2 - 3 + 2 = 0, 故只能取1或者2.,七. 已知3阶矩阵A的特征值为1, 2, -3, 求,解:,实二次型及其标准形,一. 实二次型及其矩阵表示,实二次型,定义1. 设x1, x2, , xn 是n个变量，称关于x1, x2, , xn的二次多项式 :,为这n个变量的一个实二次型。,其中ai,j皆是实数, 并约定当i j时ai,j = aj,i,2. 实二次型的矩阵表示,例1. 把下列二次型表示成矩阵的形式,解：,二.矩阵的合同变换与二次型,1. 线性变换与二次型,设f(x1, x2, , xn) = XTAX是一个实二次型, 其中A是一个n阶实对称方阵, XT = (x1, x2, , xn),设P是一个n阶实可逆方阵，在线性变换X = PY之下，,核心问题: 如何选择可逆方阵P, 使得:,即, 如何选择可逆方阵P, 使得:,2. 矩阵的合同变换,定义2. 设A和B是两个n阶实对称方阵，若存在一个n阶的实可逆方阵P，使得B=PTAP则称矩阵B与A合同，或称B与A相和。,合同关系:,自反性;,对称性;,传递性.,等价关系,三. 实二次型在正交变换下的标准形,定理：若A是一个n阶实对称方阵，则存在n阶正交矩阵P，使得PTAP成为一个对角矩阵 = diag(1, 2, , n),其中对角线上的数字恰好是矩阵A的特征值，称该对角矩阵为矩阵A在正交变换下的标准形; 而把关于变量Y的二次型1y12 + 2y22 + + nyn2称为二次型XTAX在正交变换之下的标准形，其中X=PY。,证明：（归纳法）,显然，当n = 1时定理成立。,设n = k时定理成立;下面证明n = k + 1定理依然成立。,设1是实对称方阵A的一个特征值，p1是A的与之对应的一个单位特征向量。,选取另外k个k + 1维向量q1, q2, , qk，使得p1, q1, q2, , qk构成Rk+1空间的一组标准正交基。,记P1 = (p1, q1, q2, , qk),显然P1是一个k + 1阶的正交方阵。,注意：,AP1 = (1p1, Aq1, Aq2, , Aqk),记：,由于P1TAP1 =,仍是一个实对称方阵,所以*必然一个k维0行向量，A1是一个k阶实对称方阵。,依据归纳假设，存在k阶正交方阵Q, 使得QTA1Q = diag(2, 2, , k+1),构造k + 1阶正交方阵,显然有：,= diag(1, 2, ,k+1),记P = P1P2，,显然P依然是一个k+1阶正交方阵,满足PTAP = diag(1, 2, ,k+1),证毕,推论: 设A为n阶实对称方阵, 是A的特征方程的k重根, 则与对应的、线性无关的特征向量恰有k个。也就是说方阵A - E的秩恰好等于n k.,例2.在正交变换之下求下列二次型的标准型 .,解：,首先把二次型写成矩阵的形式,然后求该对称矩阵的特征值,该方阵的特征值为3，3，6，6; 在正交变换X = PY之下该方阵的标准形为diag(3, 3, 6, 6); 该二次型的标准形为:3y12 + 3y22 + 6y32 + 6y42.,为了确定正交方阵P,我们需要再求方阵A的特征向量.,解方程组：,得方阵A关于特征值3的特征向量:,解方程组：,得方阵A关于特征值6的特征向量:,最后利用Schmidt正交化过程，把所得到的特征向量正交化:,取,取,令:,例3. 由方程-7x2 y2 z2 + 8xy + 8xz + 16yz = 1确定的曲面是一个什么样的二次曲面？试在正交变换之下把它转化为标准形.,解：,首先把方程写成矩阵的形式：,然后计算该方阵的特征值.,该方阵的特征值为： 9 -9 -9,计算方阵与特征值9对应的特征向量,计算方阵与特征值-9对应的特征向量,最后把所