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文档简介

一、 相似矩阵及其性质,4.3相似矩阵与方阵的对角化,相似矩阵有相同的秩。 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。,相似矩阵的性质：,矩阵的相似关系是一种等价关系！,4.,证明,推论 若 阶方阵A与对角阵,证明 必要性：,二、 n 阶矩阵与对角矩阵相似的条件,矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,充分性：,说明,如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化（充分而不必要）,例1,特征值-2，1（二重），相应特征向量： (-1,1,1)T, (-2,1,0)T, (0,0,1)T,定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数.,证明,（一）、对称矩阵的性质,说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵,三、实对称矩阵的对角化,于是有,两式相减，得,定理4.6的意义,证明,于是,定理4.7,定理4.8,如果n阶实对称矩阵A有m个不同的特征值 其重数分别为 则,4.8,根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为：,（二）、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法,2.,1.,5.,将这n个两两正交的单位特征向量 构成正交阵P.,矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应,解,例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵.,(1)第一步 求 的特征值,解之得基础解系,解之得基础解系,解之得基础解系,第三步 将特征向量正交化,第四步 将特征向量单位化,相似矩阵有相同的秩。 相似矩阵的行列式相等。 相似矩阵或都可逆或都不可逆。 当它们可逆时，它们的逆矩阵也相似。,1. 相似矩阵,三、小结,d),性质：,2. 对称矩阵的性质：,(1)特征值为实数； (2)属于不同特征值的特征向量正交； (3)特征值的重数和与之对应的线性无关的 特征向量的个数相等； (4)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵， 且对角矩阵对角元素即为特征值,3. 利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：,(1)求特征值；(2)找特征向量；(3
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