直线与平面的平行与垂直.ppt

新课标高中一轮总复习,第九单元 直线、平面、简单几何体和空间向量,第61讲,直线与平面的平行与垂直,1.理解直线与平面的位置关系，理解线面平行、线面垂直的定义. 2.掌握线面平行、线面垂直的判定定理及性质定理，并能灵活运用. 3.掌握空间的平行关系、垂直关系的互相转化定理，并能灵活应用. 4.规范推理、论证等解题程序，培养并提升逻辑推理能力.,1.对任意直线l和给定平面，在平面内必存在直线m,使得直线m与l( ),C,A.平行 B.相交 C.垂直 D.互为异面直线,若l,则选项D错误;若l,则选项B错误;若l=P,则选项A错误;而对于任意直线l，平面内必存在直线m与l或相交垂直或异面垂直，故选C.,2.已知直线a，直线b，则“ab”是“a”的( ),A,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件,由线面平行的判定定理可知充分条件成立，但a时，a与b的位置关系是平行或异面，即必要条件不成立，故选A.,3.设l、m、n均为直线,为平面,且m，n,则“l”是“lm且ln”的( ),A,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件,由线面垂直的定义可知l lm，ln，但lm，ln，当mn时，l与可能斜交，即lm且ln / l，故选A.,4.设m、n是两条不同的直线，、是三个不同的平面.给出下列四个命题： 若m,n,则mn; 若,m,则m; 若m,n,则mn; 若m，n，则mn. 其中正确命题的序号是( ),A,A. B. C. D.,正确，故排除答案B、C，又知正确，故选A.,1.直线与平面平行 定义：直线a与平面没有公共点，称直线a平行于平面，记作a. 判定定理:若 外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线 .,平面,平行,2.直线与平面垂直 定义:直线a与平面内的任意一条直线垂直,称直线a垂直于平面,记作a. 判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条 垂直，则该直线与此平面垂直. 性质定理:如果两条直线同 一个平面,那么这两条直线平行.,相交直线,垂直于,3.空间平行关系及空间垂直关系的转化，是立体几何证明中常用思路 以下是平行关系转化图：,题型一 线面平行的判定与应用,例1,已知正方形ABCD、ABEF构成如图的一个空间图形，M、N分别是AE、DB上的点，且AM=DN. 证明：MN平面EBC.,证明线面平行常用的方法:一是判定定理，关键是在平面EBC上找一条直线与MN平行；二是先证明面面平行，再证明线面平行.,(方法一)过M作MM1BE于M1,过N作NN1BC于N1，连接M1N1，,则有MM1AB,且 = ,NN1CD, 且 = . 又AB CD，AMDN,故MM1NN1，所以MNM1N1. 又MN平面EBC,M1N1平面EBC， 所以MN平面EBC.,(方法二)如图，连接AN并延长与BC(或BC的延长线)交于点Q，连接EQ. 因为ADBQ， 所以 = . 而AM=DN,ME=NB， 所以 = = . 在AEQ中， = ,所以MNEQ. 又MN平面EBC,EQ平面EBC， 所以MN平面EBC.,(方法三)如图，过M作MKAB于K,过N作NK1AB于K1， 则有MKEB，故 = , NK1AD，故 = . 而AM=DN,AE=DB， 所以 = ， 所以K与K1重合.,考虑平面MNK与平面EBC. 由MKEB,MK平面EBC,EB平面EBC, 得MK平面EBC. 由NKAD，得NKBC. 又NK平面EBC,BC平面EBC， 所以NK平面EBC. 又MKNK=K,所以平面MNK平面EBC, 而MN平面MNK，所以MN平面EBC.,本题呈现了证明线面平行的一般方法，前两种证法本质上都是利用判定定理，但找与MN平行的直线操作不一样，证法二是先证面面平行，再利用面面平行的性质来说明线面平行.本题证明平行关系用的是比例关系，更有一般性.若M、N是所在边的中点，直接利用中位线定理更简捷.本题的背景是几何体中的局部“场景”，但所用的证明方法非常有代表性.,如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,点M是PC的中点,点G是DM上的任意一点,过点G和直线AP的平面交平面BDM于GH,求证：APGH.,连接AC、BD，ACBD=O，则O为AC中点，连接OM. 又M为PC的中点，所以MOPA. 又PA平面MDB，MO平面MDB， 所以PA平面MDB. 又PA平面PAHG，平面PAHG平面MDB=HG， 故PAHG.,题型二 线面垂直的判定与应用,例2,如右图，四面体P-ABC中，已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=2 ,F是线段PB上一点,CF= ,点E在线段AB上且EFPB，求证： (1)BC平面PAC； (2)PB平面CEF.,证明线面垂直只需转化为证BC与平面PAC中两条相交直线垂直.,(1)在PBC中， PC2+BC2=102+62=136=PB2,所以BCPC. 而在ABC中,BC2+AC2=62+82=100=AB2， 所以BCAC. 又因为PC、AC平面PAC且PCAC=C， 所以BC平面PAC.,(2)在RtPCB中，设斜边PB上的高为h, 所以SRtPCB= 610= h2 ， 所以h= . 又因为CF= ,所以斜边上的高为CF, 所以CFPB. 又EFPB且EFCF=F,故PB平面CEF.,1.证明线面垂直常转化为证明“线线垂直”或“面面垂直”. 2.巧妙运用“等面积法”或“等体积法”求解立体几何问题，有时会收到意想不到的效果.,在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=BB1=1，AB1= . （1）求证：BC1AB1； （2）求三棱锥A1-AB1C的体积.,(1)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中, CC1底面ABC，所以CC1AC. AB2=AB12-BB12=( )2-12=2=AC2+BC2， 所以ACCB，所以AC平面BCC1B1. 而BC1 平面BCC1B1，所以ACBC1. 又BC=BB1, 所以四边形BCC1B1为正方形， 所以BC1B1C， 所以BC1平面ACB1. 又AB1平面ACB1， 所以BC1AB1.,(2)V锥A1-AB1C=V柱ABC-A1B1C1-V锥C-A1B1C1-V锥B1-ABC =SABCBB1- SA1B1C1CC1- SABCBB1 = SABCBB1 = 11 = .,如图，已知点P是三角形ABC所在平面外一点，且PA=BC=1,截面EFGH分别平行于PA、BC(点E、F、G、H分别在棱AB、AC、PC、PB上). (1)求证：四边形EFGH 是平行四边形且周长为定值； (2)设PA与BC所成的角 为，求四边形EFGH的面 积的最大值.,已知线面关系,可联想线面平行的性质定理.,(1)证明：因为PA平面EFGH， 平面PAB平面EFGH=HE, 平面PAC平面EFGH=GF,所以HEPAGF. 同理，HGBCEF, 所以四边形EFGH是平行四边形. 设EH=x(0x1),则 = = =x, 所以 =1-x= ，故得HG=1-x. 所以周长=2(EH+HG)=2(x+1-x)=2，为定值.,(2)由(1)知,PAHE,BCEF. 所以HEF(或其补角)是PA与BC所成的角. 因为HE=x(0x1),EF=1-x， 所以SEFGH=HEEFsinHEF =x(1-x)sin =sin -(x- )2. 所以,当x= ,即E、F、G、H为所在边的中点时，四边形EFGH的面积有最大值 sin.,立体几何中的最值问题往往要借助函数来求解.,1.解决线面平行、面面平行(或线面垂直、面面垂直)问题，要切实把握转化的思想和方法.,同时，要注意平行与垂直间的相互关系：两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条直线也与该平面垂直；同时垂直于一个平面的两条直线相互平行；同时垂直于一条直线的两个平面平行. 2.证明直线和平面平行的方法有： 依定义采用反证法；判定定理法(线线线面)；面面平行的性质(面面线面).,3.线面垂直最常用的证明方法是判定定理法(线线线面).其中三垂线定理、向量法是证线线垂直的常用方法. 4.作辅助线(面)是立体几何中证明的常用技巧，如用线面平行的性质定理作平行线的方法和运用中位线、平行四边形作(证)平行线的方法；又如用构造平面作(证)平行平面的方法等.,(2008天津卷)设a、b是两条直线，、是两个平面，则ab的一个充分条件是（ ）,C,A.a，b， B.a，b， C.a，b， D.a，b，,a a或a b 成任意角，故A错; a a b b b a b b与成任意角 a 角，故D错误.,a与b,ab，故B错；,ba，故C对;,a与b成任意,(2009广东卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点E是正方形BCC1B1的中心,点F、G分别是棱C1D1、AA1的中点.设点E1、G1分别是点E、G在平面DCC1D1内的正投影. (1)求以E为顶点,以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明：直线FG1平面 FEE1； (3)求异面直线E1G1与EA 所成角的正弦值.,(1)依题作点E、G在平面DCC1D1内的投影E1、G1， 则E1、G1分别为CC1、DD1的中点，连接EE1、E1G1、BE、EG1、ED、DE1，,则所求为四棱锥E-DE1FG1的体积，其底面DE1FG1面积为 SDE1FG1=SRtE1FG1+SRtDG1E1 = 12+ 12=2， 又EE1平面DE1FG1，EE1=1， 所以VE-DE1FG1= SDE1FG1EE1= .,(2)证明：在正方形DCC1D1中，FG1=FE1= ， G1E1=2, 所以FG12+FE12=G1E