算符的对易关系两力学量同时有确定值的条.ppt

3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation,一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators),二、对易关系的物理意义 (Physical significance of commutation relation),三、非对易关系的物理意义测不准关系 (Physical significance of commutation relation Uncertainty relation ),1,基本对易式:,3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系,Commutation relation of operators Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation,一、算符间的对易关系(Commutation relation of operators),2,角动量算符的对易式:,角动量算符定义:,列维-斯维塔(Levi-Civita)符号,同理可证:,例题证明(原课件):,因是任意的函数,所以,解:取任意函数,由于,解:因为,例题证明(原课件):,又因为,证明:设,即有,一般情况:设任意波函数态为,因n组成完备系,所以,二、对易关系的物理意义 (Physical Significance of commutation relation),1,定理1 :如果两个算符F和G有一组共同的本征函数 n ,而且组成完备系,则算符F和G对易.,证明:(1),非简并,设,2,定理2 :如果两个算符F、G对易,则这两个算符有 共同的本征函数,这些本征函数组成完备系.,又因fn 是无简并的,所以:,(2),简并时:设F的本征值fn有简并,简并度为sn,同时左乘 ,积分,若无重根:可解出sn个gj (j=1,2,),分别将gj代入前式可得对应于每个gj的一组解,所以相应的波函数,一组(fn,gj ) 确定的本征函数nj ,sn 度简并解除.,对易关系的物理意义: 若两算符对易,则两算符存在共同本征函数.在其共同本征函数所描写的态中,两算符表示的力学量同时有确定的值.,相应的本征值为:px,py,pz,共同本征函数,在nlm态下,能量,角动量平方,角动量z分量同时具有确定值.,3,力学量完全集,要完全确定系统所处的状态,需要一组相互对易的力学量(通常通过它们的本征值),这一组完全确定体系状态的力学量称之为力学量的完全集合.,如: L2 本征值有简并:,确定的l(l+1)h2,有 2l +1 个要完全确定状态Ylm(,) ,需确定m,当l,m同时确定时,状态才能唯一确定.而m与力学量Lz相对应.即需另找一个与L2对易的力学量,才能确定完全状态.,例:,三维空间中自由粒子的自由度是3, 完全确 定它的状态需三个力学量.,氢原子中电子自由度是3,完全确定它的状 态需3个相互对易的力学量.,下面讨论一般情况:,设任意两力学量,相应的算符且满足:,相应的涨落:,考虑积分:,三、非对易关系的物理意义测不准关系 (Physical Significance of commutation relation Uncertainty relation ),由不等式成立条件:,测不准关系,如: ,坐标与动量的测不准关系:,能量与时间的测不准关系:,注:测不准关系是物质粒子波粒二重性矛盾的反映,标志着经典粒子及力学量的概念对于微观粒子的适用程度.由于普朗克常数非常小,在一般的宏观现象中,不妨引用轨道的概念,但在处理微观世界中的现象时,必须用测不准关系.,例题用测不准关系计算线性谐振子的基态零点能量(P81).,解:谐振子平均能量为,由测不准关系:,解:设氢原子基态的最概然半径为R,则原子半径的不确定范围可近似取为,对于氢原子,基态波函数为偶宇称,而动量算符为奇宇称,能量平均值为,例题利用测不准关系估计氢原子的基态能量(P92:3.13).,基态能量应取的极小值,由,25/26,3.1 表示力学量的算符 Operators expressed the mechanical quantities,第三章 量子力学中的力学量 Mechanical quantity in quantum mechanics,3.3 电子在库仑场中的运动 Electronic movement in Coulomb field,3.2 动量算符和角动量算符 Momentum operator & angular momentum operator,3.4 氢原子Hydrogen atom,26/26,3.5 厄密算符本征函数的正交性 Orthogonality of Hermitian operator eigenfunction,3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 测不准关系 Commutation relation of operator Conditions of two mechanical quantities simultaneously with determine value Uncertainty relation,3.6 算符与力学量的关系 Relations of operator