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31.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,1平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使 .不共面的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组 2在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量 ,a1e12e2,基底,正交分解,7,4,1空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c ，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z，使得p .其中a，b，c叫做空间的一个基底， 都叫做基向量,不共面,xaybzc,a，b，c,2空间向量的正交分解及其坐标表示,两两垂直,公共点,平移,起点,xe1ye2ze3,p,(x，y，z),1已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是( ) A2a，ab，a2b B2b，ba，b2a Ca,2b，bc Dc，ac，ac,答案： C,答案： C,答案： (1,1，1) (1,0,1),以下四个命题中正确的是( ) A空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 B若a，b，c为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量 C若向量ab，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底 D任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底,根据空间基底的定义逐个选项判断 解题过程 答案： B,题后感悟 (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0； (3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念,1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则( ) Aa与b共线 Ba与b同向 Ca与b反向 Da与b共面 解析： 由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的故D错 答案： A,题后感悟 判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断,2.设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底，给出下列向量组： a，b，x；a，b，y；x，y，z；a，x，y；x，y，abc 其中可以作为空间基底的向量组有( ) A1个 B2个 C3个 D4个,答案： C,由题目可获取以下主要信息： a，b，c是一个基底，空间四边形OABC中，G、H分别是ABC、OBC的重心 解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果,1对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示 (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念,2怎样正确理解空间向量基本定理？ (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的 (2)空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底,3如何理解空间向量与平面向量的正交分解？ 空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似，都需要事先提供一组基底，空间向量表示为pxaybzc的形式，平面向量表示为pxayb的形式 4特殊向量的坐标表示 (1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a(x,0,0)； (2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a(0，y,0)；,(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a(0,0，z)； (4)当向量a平行于xOy平面时，