统计数据的描述度量.ppt

1,第3章 统计数据的描述度量,本章主要介绍以下综合统计指标：,数据特征的描述,离中趋势,均值,中位数,众数,其他指标,区域,方差,标准差,变异系数,其他指标,偏度,峰度,集中趋势,分布形状,如何用少量数字来概括数据？,平均人数：1118.93 最大人数：3230 最小人数：148,除图表外，还可用少量所谓汇总统计量或概括统计量(summary statistic)来描述定量变量的数据。 这些数字从样本数据中得来，是样本的函数。任何样本的函数，只要不包含总体的未知参数，都称为统计量(statistic)。样本的随机性决定统计量的随机性（统计量也是随机变量）,统计量的作用: 估计总体参数。许多情况下，样本统计量的值反映了无法观测到的总体参数的大小 用来检验样本和假设的总体是否一致,注意：一些统计量前面有时加上“样本”二字，以区别于总体的同名参数 样本均值 总体均值 样本标准差 总体标准差,7,常用的集中趋势度量指标： 算术平均数 几何平均数 中位数 众数 四分位数,3.1 度量集中趋势的指标,8,（1）基本公式：,1.算术平均数,9,(1)简单算术平均数,（2）算术平均数的计算,n :总体单位总数； xi :第 i 个单位的标志值。,10,算术平均数的特征,统计特征： 算术平均数是同质总体各数据偶然性、随机性特征互相抵消后的稳定数值,反映了数据集中的特征,11,数学特征： 1) 任一组数据的各项数值与其均值之差( 离差) 的代数和为零：,均值是各数值的重心 以平均值猜测所有的数值，所产生的误差最小,12,13,3）与众数和中位数相比，平均数受抽样的影响较小 某研究机构欲调查某地区人均寿命，从中抽取1个样本（100人），计算年龄平均数、众数和中位数。然后再抽取第2个样本，计算其年龄平均数、众数和中位数。多次抽取（如200次）就得到了200个平均数、众数和中位数。 平均数非常集中，中位数和众数的分布更分散。,14,4)K组资料，各组的项数和均值分别为( ), ( ),( )，则K组资料总平均数,记,则,15,(2)加权算术平均数,16,统计推断和统计分析几乎都离不开算术平均数： 用它作为一组资料集中趋势的测度量, 它是一组数据的重心, 是数据规律性的反映 它又是对所提供信息运用最充分的指标, 最灵敏, 最适合代数方法处理, 具有优良的数学性质. 算术平均数的主要局限：易受极值影响,17,使用 Excel 函数求算术平均数,利用 Excel“公式”-“其它函数”-“统计”中的AVERAGE 函数可以方便地计算出一组或多组数据的算术平均数。 语法规则： 格式：AVERAGE(,) 例：利用某汽车公司各销售点的销售数据，求平均销售量。,18,使用 Excel 函数求加权算术平均数,利用 Excel“数学和三角函数”中的SUMPRODUCT 函数可以方便地计算出分组数据的加权算术平均数。 语法规则： 格式：SUMPRODUCT(,)/ SUM(,) 例：利用某汽车公司各销售点分组频数分布数据，求各销售点的平均销售量。,19,2.几何平均数,当统计资料是各时期的发展速度等前后期的两两环比数据，要求每时期的平均发展速度时，就需要使用几何平均数。 几何平均数是 n 个数连乘积的 n 次方根。 （1） 简单几何平均数,（2） 加权几何平均数,f i 各比率出现的频数,20,几何平均数的主要用途： 对比率进行平均 测定生产或经济变量时间序列的平均增长率,当观测值中有一项为0或负值时，不宜计算几何平均数,21,例：某公司原料成本随时间增长的情况如下表,求原料成本的平均年增长率。 解一：,解二：,年平均增长率 = 1.0688 - 1 = 6.88%,22,(3)用 Excel 求几何平均数,Excel 中的 GEOMEAN 函数返回几何平均数。 语法规则： 格式：GEOMEAN(,),23,将总体各单位标志值按由小到大的顺序排列后，处于中间位置的标志值称为中位数，记为Me ，Med或Mdn。,3.中位数（median）,24,中位数是一种位置平均数，不受极端数据的影响。当统计资料中含有异常的或极端的数据时，中位数比算术平均数更具有代表性。 5 笔付款：9元，10元，10元，11元，60元 均值= 20 元，不是一个很好的代表值， 中位数= 10 元，更能代表平均每笔的付款数。 若数据个数为偶数, 取中点位置的左右两个数值的平均数为中位数,25,(1) 用 Excel 的统计函数返回未分组数据的中位数,格式：MEDIAN(,) 功能：返回所有参数中数据的中位数。,26,(2)分组数据中位数的确定,分组数据的中位数要用插值法来估算。 (1)计算各组的累计频数Si； (2)确定中位数所在的组，即累计频数首次包含中位数位次(f /2)的组。,其中：L 中位数所在组的下限； Sm-1 中位数所在组前一组的累计频数； fm 中位数所在组的频数； d 中位数所在组的组距。,27,各组数据均匀分布在中位数组组界内的假定，是组距次数分配资料求中位数的特点。因此求得的中位数只是近似，在不适宜此假定的场合, 误差就会很大。为避免误差，应尽量采用原始数。,28,例：计算下表数据的中位数,解：f/2 = 27.5，中位数在“15-25”的组中，,29,中位数是位置平均数，不易受极端值的影响，是较稳健的集中趋势度量指标。因此, 许多国家的政府发布的个人所得和人口年龄的平均值，往往用中位数。 中位数的不足之处： 中位数的确定只与中间位置的1或2个数值有关，忽略了其他数值的大小，缺乏敏感性，且不适合代数运算。,30,4.众数（mode）,众数是一组资料中出现次数最多的标志值，记为M o。 众数明确反映了数据分布的集中趋势，也是一种位置平均数，不受极端数据的影响。但并非所有数据集合都有众数，也可能一组数据存在多个众数。,31,在某些情况下，众数是一个较好的代表值： 服装行业中，生产商、批发商和零售商在进行生产和存货决策时； 当要了解大多数家庭的收入状况时。,32,(1) 未分组数据众数的确定,在数据量很大的时候，可以使用 Excel 统计函数中的 MODE 函数返回众数。 格式：MODE(,) 功能：返回所有参数中数据的众数。,33,(2) 分组数据众数的确定,对于分组数据的统计资料，众数也要用插值法来估算。 (1)确定众数所在的组 对于等距分组，众数组是频数最高的组； (2)使用以下插值公式计算,其中： L 众数组的下限 1 众数组与前一组的频数之差 2 众数组与后一组的频数之差 d 众数组的组距,34,例：计算下表数据的众数,解：众数组是“15-25”的组，则,35,优点：性质简单明了, 且不受极端值影响。 局限：没有利用所有观测值、缺乏敏感性和不适合代数运算，且众数有时不存在或不止一个。,36,一般而言, 遇到资料中有较多的数值向某一数值集中的情况，或者是资料按品质标志分组时，宜采用众数： 为掌握某日某集市上某种商品的价格水平, 用该日市场上该商品的最普遍成交价来代表该商品的价格水平, 这种价格就是众数； 若某班学生的统计学考试成绩有70%都是80分, 那么用80 这个众数就可以很好的说明该班学生的统计学考试成绩； 经济系教师的血型以A型居多，则以众数血型A作为集中趋势最恰当。,37,算术平均数、中位数和众数间的关系,2.频数分布为右偏态 时，众数小于中位数，算术平均数大于中位数。,3.频数分布为左偏态时，众数大于中位数，算术平均数小于中位数。,1.频数分布呈完全对称的单峰分布，算术平均数、中位数和众数三者相同。,38,集中趋势计量的结论： 当数据分布为轻度偏态时，中位数位于均值众数之间，且与均值的距离大约为均值与众数距离的1/3，即 或 2)算术平均数适用于定距变量，中位数适用于定序变量，众数适用于定类变量,39,3) 算术平均数包含的信息是最多的、最丰富的，所有观测值与算术平均数之差的和等于0，所有观测值与算数平均数的平方和最小，在数学上容易计算。用算术平均数来猜测所有的数值，所产生的误差是最小的。 4)样本平均数在抽样中非常稳定，所以，它是总体均值的最佳估计。,40,习题,某地区私营企业注册资金分组资料如下，求该地区私营企业注册资金的平均数、中位数和众数。,41,f/2=143/2=71.5，中位数所在组为“100150”的组，,众数组为“100150”的组，,上下四分位数（或分别称为第一四分位数和第三四分位数，first quantile, third quantile）则分别位于（按大小排列的）数据的上下四分之一的地方。,5.四分位数,上四分位数又称75百分位数（75 pecentile，有75的观测值小于它），下四分位数为25百分位数（25 pecentile，有25的观测值小于它）。 k百分位数（k-pecentile）意味着有k的观测值小于它。如果令a=k%，则k百分位数也称为a分位数(a-quantile)。,44,1. 集中趋势的测度值之一,2. 不受极端值的影响 3. 可用于定序数据，也可用于数值型数据，但不能用于定类数据,45,未分组数据：,分组数据：,四分位数位置的确定,计算结果为整数，四分位数等于那个整数位置上的数据,计算结果为小数，四分位数等于相邻两个有序数据的加权平均数,46,数值型未分组数据的四分位数 (7个数据),原始数据: 23 21 30 32 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 32 位 置: 1 2 3 4 5 6 7,47,数值型未分组数据的四分位数(6个数据),原始数据: 23 21 30 28 25 26 排 序: 21 23 25 26 28 30 位 置: 1 2 3 4 5 6,QL= 21+0.75(23-21) = 22. 5,QU = 28+0.25(30-28) = 28.5,48,49,50,使用Excel统计函数中的QUARTILE函数,在数据量很大的时候，可以使用Excel统计函数中的QUARTILE函数返回四分位数，语法规则如下： 格式：QUARTILE (数据集, 第nthquart分位数) 功能：返回不同nthquart的四分位数。,51,几个总体可以有相同的均值，但取值情况却可以相差很大。要分析总体的分布规律，还需要了解数据的离散程度或差异状况。,变异指标用来表示数据离散程度特征，主要有： 极差 平均差 四分位差 标准差 变异系数,3.2 度量离散程度的指标,52,【案例】道格拉斯公司应如何选择供应商,道森公司和克拉克公司是道格拉斯公司的两家供货商。两家供货商都表示大约需要10个工作日交付定货。下表是两家供应商定货交付时间的历史数据。今后道格拉斯公司应选择哪家供应商供货？,53,1.极差,极差也称全距，是一组数据的最大值和最小值之差,通常记为R，是最简单的变异指标。数据的差异越大，极差也越大。 优点：意义明确易懂，计算简单方便，广泛应用于产品质量管理中控制质量的差异。 局限性：仅考虑两个极端的数据，没有利用其余数据的信息，是一种较粗糙的变异指标。,54,2.平均差,平均差是各数据与其均值离差绝对值的算术平均数，通常记为A.D(Average Deviation) 未分组数据： 分组数据：,平均差越大，反映数据间的差异越大。,55,平均差充分考虑了每一个数值离中的情况，完整地反映了全部数值的分散程度，在反映离中趋势方面比较灵敏，计算方法也比较简单。 它的缺陷在于，由于它的敏感性，使得它易受极端值影响，特别是绝对值运算给数学处理带来很多不便，因而很少使用。,56,3.四分位差,(1) 离散程度的测度值之一 (2) 上四分位数与下四分位数之差的二分之一 QD = (QU QL)/2 (3) 反映了中间50%数据的离散程度 (4) 避免受极端值的影响,57,4.方差和标准差,方差和标准差是应用得最为广泛的变异指标。标准差是方差的算术平方根，也称均方差或根方差。 (注意总体方差、标准差与样本方差、标准差是有区别的。) (1)总体方差和总体标准差 总体方差是总体中各数据与其均值离差平方的均值，记为 2，总体标准差记为。,58,(2)样本方差与样本标准差,样本方差记为 S 2，样本标准差记为 S，在推断统计中，它们分别是总体方差和标准差的优良估计。,59,方差的简便计算：,61,未分组数据方差和标准差的计算,使用 Excel 的统计函数计算数据的方差和标准差 VARP(,) 功能：返回所有参数中数据的总体方差。 STDEVP(,) 功能：返回所有参数中数据的总体标准差。 VAR(,) 功能：返回所有参数中数据的样本方差。 STDEV(,) 功能：返回所有参数中数据的样本标准差。,62,Chebishev定理与经验法则,(1)Chebishev定理 对任何的一组数据, 观测值落于均值左右k个标准差的区间内的比例, 至少为,各种不同k值所对应的区间,例： 有一组关于顾客购物付账时等候时间的数据，已知等候时间的均值为4分钟，标准差为0.9分钟。 根据Chebishev定理， 当k=2时，至少有3/4或75%的观测值落在均值左右两个标准差的区间内，即420.9 区间内。即，等候时间介于2.2分钟至5.8分钟之间的顾客至少占75%。,(2)经验法则,当数据分布形状呈对称时, 有 (1 )约有68%的观测值落于 的区间内； (2 )约有95%的观测值落于 的区间内； (3 )约有97%的观测值落于 的区间内。 上例中顾客等候付账的时间是对称分配, 则有95%的顾客需等候2.25.8分钟。,65,5.变异系数 (Coefficient of Variance),比较不同总体的离散程度时，若使用的度量单位不同，或它们在数量级上相差很大，则用绝对数值表示的方差和标准差缺乏可比性，此时就应使用相对变异指标(变异系数)。 例如，对汽车发动机的汽缸而言，0.05毫米的标准差就很大了，但对建筑工程而言则可完全忽略不记。 相对变异指标中最重要的是标准差系数(又称为变异系数或离散系数)，是标准差与均值之比，记为V 。,66,6.Z值,Z值等于数据与均值的差再除以标准差。Z值有助于定义极端值。Z值越大，数据远离均值的距离越大。其计算公式如下：,通常，Z值小于3.0或大于+3.0时，认为数据中含有极端值。,67,具有相同平均值和方差的数据，其分布形状就一样吗？,3.3 度量偏斜程度与峰度的指标,数 值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 第一组的次数 1 2 0 2 3 0 4 0 1 第二组的次数 1 0 4 0 3 2 0 2 1,假设有两组数据资料如下, 其均值都是5 , 标准差都是2.287。,68,一、偏度（Skewness） 总体分布的特征不仅与均值和变异指标有关，而且与分布的偏斜程度有关，如对称分布、右偏分布和左偏分布。这种分布形态上的数量特征，往往具有重要的社会经济意义。偏度系数是度量偏斜程度的指标，主要有如下计算方法： （1）Pearson偏度系数 该