随机变量的数字特征.ppt

2019/7/25,1,第四章 随机变量的数字特征,例1 甲,乙两人进行打靶, 所射中环数分别记为 X1, X2, 它们的分布律分别为: X1 8 9 10 X2 8 9 10 pk 0.3 0.1 0.6 pk 0.2 0.5 0.3 试评定他们射击技术的好坏.,1 随机变量的数学期望,2019/7/25,2,若使两个射手各射N枪，则他们打中的环数大约是：,他们平均射中的环数约为,2019/7/25,3,平均起来甲每枪射中 9.3环，乙射中9.1环，因此甲的技术要好些。,受此问题启发在上式中用概率代替频率引入如下定义：,2019/7/25,4,2019/7/25,5,例2 设X为投掷一颗骰子时出现的点数，则X的分布律为,于是，X的数学期望为,下面计算一些离散型分布的期望值。,1) (0-1)分布 设X服从(0-1)分布，分布律为,PX=1=p,PX=0=q, 0p1,q=1-p,X的数学期望为 E(X)=1p+0q=p,2019/7/25,6,2019/7/25,7,2019/7/25,8,2019/7/25,9,连续型随机变量的数学期望：,设f(x)为连续型随机变量X的概率密度，对X的取值区间作一分割，有,2019/7/25,10,下面计算常用连续型变量的数学期望：,则,它恰是区间a,b的中点。,2019/7/25,11,指数分布是最常用的“寿命分布”之一， 期望表明值越小，产品平均寿命越长。,2019/7/25,12,2019/7/25,13,因此, 柯西分布的数学期望不存在.,2019/7/25,14,随机变量函数的数学期望公式:,2019/7/25,15,说明: 1. 在已知Y是X的连续函数前提下,当我们求 E(Y)时不必知道Y的分布, 只需知道X的分布就可 以了.,2. 上述定理可以推广到多维r.v.函数.,2019/7/25,16,2019/7/25,17,例7 某商品的市场需求量X服从2000,4000上的均 匀分布，每售出一吨挣 3 万元，售不出则每吨需 保养费1万元，问应组织多少货源才能使收益最大。,当y=3500时达到最大值，因此组织3500吨货源是最好的决策。,2019/7/25,18,2019/7/25,19,2019/7/25,20,均值的性质:,(1) E(c)=c; (c为常数),说明: i. 性质(3)和(4)可以推广到有限个r.v. (X1, X2, , Xn)的情况.,(2) E(cX)=cE(X);( c为常数),(3) E(X+Y)=E(X)+E(Y);,(4) 设X,Y相互独立, 则E(XY)=E(X)E(Y);,(5) |E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),ii. 对于“和”,不要求X1,X2,Xn相互独立; 对 于“积”要求X1,X2,Xn相互独立.,2019/7/25,21,例1. 二项分布的均值的计算:,设Xb(n,p),引入r.v.Xi(i=1, 2, , n), 它们是相互独立的且都服从0-1分布: PXi=1=p, PXi=0=q, X表示n次独立重复试验中A发生的次数,Xi表示第i次试验的结果:Xi=1表示A发生, Xi=0表示A不发生, 所以,说明: 将X分解成数个r.v.之和,然后利用r.v.和的数学期望等于r.v.的数学期望之和来求解. 这个方法具有一定的普遍意义.,2019/7/25,22,2019/7/25,23,2019/7/25,24,2. 方差,方差描述了r.v.对其数学期望的离散程度, 在概率论和数理统计中十分重要.,一、定义,2019/7/25,25,若X为离散型r.v.其分布律为PX=xk=pk, k=1,2, 则,2019/7/25,26,在前面例1中,X,Y表示甲乙一次击中的环数,有,可见甲的技术不够“稳定”,乙方差小较“稳定”.,方差的计算公式:,2019/7/25,27,2019/7/25,28,10. 设随机变量X具有(0-1)分布, 其分布律为 PX=0=1-p, PX=1=p, 则,E(X)=0(1-p)+1p=p,故 D(X) =E(X2)-E(X)2=p-p2=p(1-p).,E(X2)=02(1-p)+12p=p,下面计算一些常见分布的方差,2019/7/25,30,2019/7/25,31,2019/7/25,32,2019/7/25,33,2019/7/25,34,2019/7/25,35,二、方差的性质:,10 设C是常数, 则D(C)=0;,20 设X是r.v., C是常数, 则有 D(CX)=C2D(X);,30 设X, Y是两个相互独立的随机变量, 则有 D(XY)=D(X)+D(Y);,2019/7/25,36,2019/7/25,37,40 D(X)=0的充要条件是X以概率1取常数C, 即 PX=C=1.,2019/7/25,38,例1 设Xb(n,p),分解X,求其方差D(X).,易知X1,X2,Xn独立同服从(0-1)分布，因此,2019/7/25,39,所以结论成立.,2019/7/25,40,2019/7/25,41,三. 切比雪夫(Chebyshev)不等式:,2019/7/25,42,这个估计的精度不高，但具有普遍适用性。,2019/7/25,43,3. 协方差和相关系数,展开可得计算公式: Cov(X, Y)=E(XY)-E(X)E(Y).,由方差性质证明知,对于任意的两个r.v.X和Y, 有 D(XY)=D(X)+D(Y) 2Cov(X,Y).,2019/7/25,44,协方差的性质:,10 Cov(X, Y)=Cov(Y, X);,20 Cov(a1X+b1, a2Y+b2)=a1a2Cov(X,Y), 其 中a1, a2, b1,b2是常数;,30 Cov(X1+X2, Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2, Y);,60 |Cov(X, Y)|2D(X)D(Y); “ =”成立当且仅当 X与Y之间有严格的线性关系。(Y=aX+b),50 若X, Y相互独立, 则Cov(X, Y)=0.,40 Cov(X,a)=0,Cov(X,X)=D(X),a为常数;,2019/7/25,45,此不等式对应的方程无实根或有二重根,故有,2019/7/25,46,显然，相关系数是标准化了的协方差。,2019/7/25,47,注意：相关系数XY刻划了X, Y之间的线性相关关系, 当XY=0时, 称X,Y不相关是指它们之间没有线性 相关关系. XY=1或-1时，X与Y有严格线性关系。,2019/7/25,48,2019/7/25,49,例1.设(X, Y)服从二维正态分布,求X和Y的相关系数.,2019/7/25,50,由第三章我们曾证明过的一个命题, 设(X, Y)服从二维正态分布, 则X, Y 相互独立的充要条件是=0. 知X与 Y不相关与X和Y相互独立是等价的.,2019/7/25,51,公式：Cov(aX+bY,cX+dY) =acD(X)+(ad+bc)Cov(X,Y)+bdD(Y),例2 XN(2003,1),YN(2004,1),且X与Y独立， 求3X-Y与X+Y的相关系数。,解：由于X，Y独立，则 Cov(3X-Y,X+Y),D(3X-Y)=9D(X)+D(Y)=10,D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2,=3D(X)+2Cov(X,Y)-D(Y)=3-1=2,2019/7/25,52,4. 矩、协方差矩阵,一. 定义: 设X和Y是随机变量,显然, E(X),E(Y)为一阶原点矩, D(X),D(Y)为二阶中心矩, XY为二阶混合中心矩.,(1) 若E(Xk), k=1, 2, 存在, 则称它为X的k阶原点矩.,(2) 若EX-E(X)k, k=1, 2, 存在,则称它为X的k阶中心矩.,(3) 若E(XkYl), k, l=1, 2, 存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合矩.,(4) 若EX-E(X)kY-E(Y)l, k, l=1, 2,存在, 则称它为X和Y的k+l阶混合中心矩.,2019/7/25,53,二维随机变量(X1,X2) 有四个二阶中心矩，分别记为,将它们排成矩阵形式,称这个矩阵为(X1,X2)的协方差矩阵。,二、定义,2019/7/25,54,2019/7/25,55,三. 协方差阵的性质:,10 C是对称的; (由协方差的性质Cov(X,Y) =Cov(Y,X), cij= cji可得),20 cii=D(Xi), i=1, 2, 3, , n.,30 cij2 cii cjj, i,j=1, 2, , n.(由许瓦尔兹不等 式可得),40 C是非负定的, 即对任意的n维向量 a=(a1, a2, , an)T, 都有aTCa0.,|E(XY)|2E(X2)E(Y2).(许瓦尔兹不等式),2019/7/25,56,四. n维正态变量:,2019/7/25,57,2. 性质:,20 n维r.v. (X1, X2, , Xn)服从n维正态分布的充要条件是X1, X2, , Xn的任一线性组合 l1X1+l2X2+ +ln Xn服从一维正态分布.,30 若(X1, X2, , Xn)服从n维正态分布, 设Y1,Y2, Yn是Xj(j=1, 2, , n)的线性函数, 则(Y1,Y2, Yn)也服从多维正态分布.,40 若(X1, X2, , Xn)服从n维正态分布, 则“X1, X2, , Xn”相互独立与“X1, X2, , Xn”两两不相关是等价